1. 貝葉斯定理（貝葉斯公式和全概率公式）

定義：在信息和條件有限的情況下，基于過去的數據，通過動態調整的方法，幫助我們一步步預測出事件發生的接近真實的概率。
貝葉斯定理基于條件概率的定義，條件概率表示事件 A 在事件 B 已經發生的條件下發生的概率
條件概率公式：
$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}，P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$
上述二者結合可以得到貝葉斯公式：
$$P(A|B)=\frac{P(B|A)?P(A)}{P(B)}$$
各個部分的含義
P(A|B)：后驗概率
P(A)：先驗概率
P(B|A)：似然函數 在 A 發生的條件下，事件 B 發生的概率，通常由模型或數據決定。
P(B)：邊際概率，事件 B的總體概率，可以通過所有可能導致 B發生的情況求和得到
$$P(B)=P(B|A)?P(A)+P(B|?A)?P(?A)$$

由邊際概率可以引出全概率公式：用于計算一個復雜事件的概率，方法是把它拆分成多個互斥的簡單情況（劃分完備事件組），再分別加權求和。

2. 概率題

2.1 隨機發生器的概率為1/2

已知一個隨機發生器，生成 0 的概率為 p ，生成 1 的概率為 1 - p 。請構造一個新的隨機發生器，使其生成 0 和 1 的概率均為 1/2。
答案：讓該隨機數生成器生成兩個數，那么序列是00,01,10,11概率分別為 p* p,p(1-p),(1-p)p,(1-p)(1-p)。這四種情況中存在兩個獨立的事件概率是相等。也就是01和10，那么我把01看成是0,10看成是1，那么他們輸出的概率均為p(1-p)，其他的情況舍棄。這樣就得到了0和1均等生成的隨機器了。這種解法可以推廣到n個數的情況，我們知道，取n個隨機數發生器，存在n個概率相同的獨立事件，我們只使用這n個事件就得到1/n的概率了。例如n=3, 有8中情況000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111，其中001,010,100的概率都是p^2*(1-p)。