Missashe高數強化學習筆記

說明：這篇筆記用于博主對高數強化課所學進行記錄和總結。由于部分內容寫在博主的日記博客里，所以博主會不定期將其重新copy到本篇筆記里。

第一章 函數極限連續

第二章 一元函數微分學

第三章 一元函數積分學

第一節 不定積分

知識點回顧

• 1.兩個概念：原函數、不定積分：f(x)的全體原函數。
• 2.原函數的存在性：1）區間上連續必有原函數。2）區間上有第一類間斷點則沒有原函數，有第二類間斷點可能有原函數。
• 3.性質和基本公式；用來運算的，要背下來。
• 4.三種積分方法：第一類換元法（湊微分法）、第二類換元法（真換元）、分部積分法。
• 5.三類常見可積函數積分：
  • 1）有理函數積分：一般方法：部分分式法；特殊方法：加項減項拆或湊微分降冪。
  • 2）三角有理式積分：一般方法：萬能代換；特殊方法：三角變形，換元，分部。
  • 3）簡單無理函數積分：根式整體換元。

常考題型

• 1.計算不定積分
  • 1）第一種是直接給你一個不定積分讓你算，要熟練掌握三大積分方法以及三種可積函數的積分方法，尤其是注意有理函數的積分，多項式可能會給的比較復雜。跟三角函數有關的不定積分會比較難算，但不止三角函數，其實各種類型函數的不定積分都可以出成難題，需要多做多見。
  • 2）第二種其實就是給你一些函數關系式，讓你先把具體的函數求出來再積分，也就轉化成第一種問題了。求具體函數一般是換元來做。
• 2.不定積分雜例：沒有固定的套路，根據題目條件具體分析。求分段函數的原函數時，注意原函數存在則一定連續。

第二節 定積分

知識點回顧

• 1.定積分的概念：本質是和式極限，分、勻、和、精。表示的是一個值，與積分變量無關。還可以利用定積分定義求極限。
• 2.幾何意義：前提是下限小于上限，定積分的值等于曲邊梯形的面積、面積的負值或者上方面積減去下方面積之差。
• 3.可積性：指的是定積分存在。
  • 1）必要條件：$f(x)$可積則$f(x)$有界。
  • 2）充分條件：
    $f(x)$連續則$f(x)$可積。
    $f(x)$有界且只有有限個間斷點則$f(x)$可積。
    $f(x)$只有有限個第一類間斷點則$f(x)$可積。有第二類間斷點可能可積。
• 4.$f(x)$可積和$f(x)$存在原函數是兩個不同的概念，之間沒有直接關聯。
• 5.計算：牛頓萊布尼茲公式、換元積分法、分部積分法、利用奇偶性和周期性、利用公式：點火公式等。
• 6.變上限積分：掌握變上限積分的求導。
• 7.性質：不等式的性質和積分中值定理。

常考題型

• 1.定積分的概念、性質及幾何意義
• 2.定積分計算
• 3.變上限積分函數及應用
• 4.積分不等式

第三節 反常積分

第四節 定積分應用

第四章 常微分方程

第五章 多元函數微分學

第六章 二重積分