指數加權移動平均（EWMA, Exponential Weighted Moving Average） 是一種常用于時間序列平滑、異常檢測、過程控制等領域的統計方法。相比普通移動平均，它對最近的數據賦予更高權重，對舊數據逐漸“淡化”。

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? 一、通俗理解

想象你在追蹤一個傳感器的溫度信號：

• 如果今天的溫度變化劇烈，你可能更關注今天的數據；
• 昨天、前天的數據也重要，但權重要低一些；
• EWMA 就是一個“記憶逐漸衰退”的平均方法。

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? 二、公式講解

假設：

• 當前時間點為$t$
• 當前觀測值為 $x_t$
• 當前 EWMA 為 $s_t$
• 平滑系數為 $\alpha$，范圍在 $(0,1]$

EWMA 計算公式：

$$s_t=\alpha ?x_t+(1?\alpha )?s_{t?1}$$

其中：

• $s_t$：當前的平滑值
• $s_{t?1}$：上一個時刻的平滑值
• $x_t$：當前觀測值
• $\alpha$：控制“記憶力”的程度

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? 三、平滑系數 ( \alpha ) 的意義

$\alpha$	解釋	適用場景
趨近于 1	強調最新值，反應更靈敏	快速檢測突變、異常檢測
趨近于 0	更平滑，強調長期趨勢	長期趨勢分析、去除波動噪聲

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? 四、初始值設定

• 一般 $s_0=x_0$，即用第一個觀測值作為初始均值；
• 或者可以使用簡單平均的結果作為初始值，增強穩定性。

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? 五、特點總結

特點	描述
權重指數衰減	越舊的數據權重越小
實時更新	只依賴當前值和上一個 EWMA，適合在線計算
響應迅速可控	通過 $\alpha$ 控制對突變的響應程度
常用于過程監控	比如在質量控制圖（如 EWMA控制圖）中監測變量是否偏離控制線

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? 六、圖示（如果可視化）

如果畫出數據曲線和 EWMA 曲線，會看到：

• 原始數據波動較大
• EWMA 曲線更平滑，且在數據趨勢變動時會“有延遲地”跟著變

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? 七、簡單 Python 示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 模擬數據
np.random.seed(0)
x = np.random.randn(100).cumsum()# 計算 EWMA
alpha = 0.2
s = np.zeros_like(x)
s[0] = x[0]
for t in range(1, len(x)):s[t] = alpha * x[t] + (1 - alpha) * s[t - 1]# 畫圖
plt.plot(x, label="原始數據")
plt.plot(s, label="EWMA (α=0.2)", linewidth=2)
plt.legend()
plt.title("指數加權移動平均（EWMA）示意圖")
plt.show()

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