一、深度Q網絡（Deep Q-Network，DQN）介紹

1、背景與動機

深度Q網絡（DQN）是深度強化學習領域的里程碑算法，由DeepMind于2013年提出。它首次在 Atari 2600 游戲上實現了超越人類的表現，解決了傳統Q學習在高維狀態空間中的應用難題。DQN在機器人路徑規劃領域展現出巨大潛力，能夠幫助機器人在復雜環境中找到最優路徑。

傳統Q學習在狀態空間維度較高時面臨以下挑戰：

1. Q表無法存儲高維狀態的所有可能情況
2. 特征提取需要手動設計，泛化能力差
3. 更新過程容易導致Q值估計不穩定

DQN通過引入深度神經網絡作為Q函數的近似器，并采用經驗回放和目標網絡等技術，有效解決了上述問題。

2、核心思想

DQN的核心思想是使用深度神經網絡來近似Q函數，即：
$$Q^{?}(s,a)\approx Q(s,a;\theta )$$
其中，$s$ 表示狀態，$a$ 表示動作，$\theta$ 表示神經網絡的參數。

目標是找到一組參數 ${\theta }^{?}$，使得網絡輸出的Q值與實際的Q值盡可能接近。通過不斷與環境交互收集數據，使用梯度下降法優化網絡參數。

3、算法流程

DQN的算法流程可以概括為以下步驟：

1. 初始化：

   • 初始化Q網絡參數 $\theta$
   • 初始化目標網絡參數 ${\theta }^{?}$ 并與Q網絡參數同步
   • 初始化經驗回放緩沖區 $D$

2. 與環境交互：

   • 在當前狀態 $s$ 下，根據 $?$-貪婪策略選擇動作 $a$
   • 執行動作 $a$，觀察獎勵 $r$ 和下一個狀態 $s^{\prime }$
   • 將經驗 $(s,a,r,s^{\prime })$ 存入經驗回放緩沖區 $D$

3. 采樣與更新：

   • 從經驗回放中隨機采樣一批數據 $\{(s_i,a_i,r_i,s_i^{\prime })\}$
   • 計算目標Q值：
     $$y_i=\{\begin{array}{ll}{r}_i& \text{if?}{s}_i^{\prime }\text{?is?terminal}\\ r_i+\gamma {\max }_{a^{\prime }}Q(s_i^{\prime },a^{\prime };{\theta }^{?})& \text{otherwise}\end{array}$$
     其中，$\gamma$ 是折扣因子（$0\le \gamma \le 1$）
   • 計算當前Q值：$Q(s_i,a_i;\theta )$
   • 計算損失函數：
     $$L(\theta )=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(y_i?Q(s_i,a_i;\theta ){)}^2$$
   • 使用梯度下降法更新Q網絡參數 $\theta$

4. 同步目標網絡：

   • 每隔一定步數（如C步），將Q網絡參數 $\theta$ 同步到目標網絡 ${\theta }^{?}$

5. 重復：

   • 重復上述過程直到收斂

4、關鍵技術

1. 經驗回放（Experience Replay）

經驗回放通過存儲代理與環境交互的經驗，并隨機采樣小批量數據進行更新，解決了以下問題：

• 數據相關性：傳統Q學習使用相關數據更新，容易導致估計偏差
• 數據利用效率：每個經驗只使用一次，數據利用率低

經驗回放的數學表達為：
D = { e 1 , e 2 , … , e N } , e i = ( s i , a i , r i , s i ′ ) D = \{e_1, e_2, \dots, e_N\}, \quad e_i = (s_i, a_i, r_i, s_i') D={e1?,e2?,…,eN?},ei?=(si?,ai?,ri?,si′?)
每次更新時，從 $D$ 中隨機采樣小批量數據 $B?D$。

2. 目標網絡（Target Network）

目標網絡通過維持一個固定的網絡來計算目標Q值，避免了Q值估計的不穩定。目標網絡的參數 ${\theta }^{?}$ 每隔一定步數與Q網絡參數 $\theta$ 同步：
$${\theta }^{?}\leftarrow \theta \text{every?C?steps}$$

3. $?$-貪婪策略

$?$-貪婪策略在探索與利用之間取得平衡：
$$a=\{\begin{array}{ll}\text{random?action}& \text{with?probability?}?\\ \arg {\max }_{a}Q(s,a;\theta )& \text{with?probability?}1??\end{array}$$
其中，$?$ 隨時間逐漸衰減，從初始值（如1.0）逐漸降低到較小值（如0.1）。

5、數學推導

1. Q學習更新公式

Q學習的目標是找到最優策略下的Q值：
$$Q^{?}(s,a)={\mathbb{E}}_r[r+\gamma \underset{a^{\prime }}{\max }{Q}^{?}(s^{\prime },a^{\prime })]$$
其中，${\mathbb{E}}_r$ 表示對獎勵分布的期望。

2. 損失函數

DQN使用均方誤差（MSE）作為損失函數：
$$L(\theta )={\mathbb{E}}_{s,a,r,s^{\prime }}\left[(y?Q(s,a;\theta ){)}^2\right]$$
其中，$y=r+\gamma {\max }_{a^{\prime }}Q(s^{\prime },a^{\prime };{\theta }^{?})$ 是目標Q值。

3. 梯度更新

使用梯度下降法更新參數 $\theta$：
$$\theta \leftarrow \theta +\alpha {?}_{\theta }L(\theta )$$
其中，$\alpha$ 是學習率，${?}_{\theta }L(\theta )$ 是損失函數對參數的梯度。

6、與傳統Q學習的對比

特性	傳統Q學習	DQN
狀態表示	離散狀態或手工特征	深度神經網絡自動提取特征
數據利用	每個數據只使用一次	經驗回放多次利用數據
穩定性	Q值估計容易發散	目標網絡提高穩定性
適用場景	低維狀態空間	高維狀態空間（如圖像）

7、局限性

1. 樣本效率低：需要大量交互數據
2. 超參數敏感：對 $?$、學習率、折扣因子等敏感
3. 獎勵稀疏問題：在獎勵稀疏環境中表現不佳
4. 計算資源需求高：需要強大的計算設備支持

二、構建CNN-LSTM深度神經網絡作為Q函數的近似器

輸入是10*10大小含有障礙物的地圖，輸出是機器人8個方向的動作Q值，用于指導機器人選擇最優動作。

所搭建的深度神經網絡包含卷積層、激活層、全連接層、扁平化層和LSTM層。以下是每一層的詳細說明：

1. 輸入層 (input)

• 輸入尺寸: (10 \times 10 \times 1)
• 歸一化: 使用 “zero-centered” 歸一化方法
• 描述: 接收 (10 \times 10) 的單通道圖像作為輸入。

2. 卷積層 (con1)

• 卷積核尺寸: (3 \times 3)
• 卷積核數量: 16
• 步幅: ([1, 1])
• 填充: ([0, 0, 0, 0])
• 輸出尺寸: (8 \times 8 \times 16)
• 描述: 使用 16 個 (3 \times 3) 的卷積核對輸入圖像進行卷積操作，提取特征。

3. ReLU 激活層 (relu1)

• 輸入/輸出尺寸: (8 \times 8 \times 16)
• 描述: 對卷積層的輸出應用 ReLU 激活函數，引入非線性。

4. 全連接層 (fc1)

• 輸入尺寸: (8 \times 8 \times 16 = 1024)
• 輸出尺寸: (64)
• 權重矩陣: (64 \times 1024)
• 偏置向量: (64 \times 1)
• 描述: 將卷積層的輸出展平后，通過全連接層映射到 64 維特征空間。

5. ReLU 激活層 (relu3)

• 輸入/輸出尺寸: (64)
• 描述: 對全連接層的輸出應用 ReLU 激活函數。

6. 扁平化層 (flatten)

• 輸入尺寸: (1 \times 1 \times 64)
• 輸出尺寸: (64 \times 1)
• 描述: 將三維張量展平為一維向量。

7. LSTM層 (Lstm)

• 隱藏單元數量: 20
• 輸入尺寸: (64 \times 1)
• 輸出尺寸: (20 \times 1)
• 權重矩陣:
  • 輸入權重: (80 \times \dots)
  • 循環權重: (80 \times \dots)
  • 偏置向量: (80 \times \dots)
• 描述: 使用 LSTM處理序列數據，捕捉時間序列中的依賴關系。

8. ReLU 激活層 (relu)

• 輸入/輸出尺寸: (20 \times 1)
• 描述: 對 LSTM層的輸出應用 ReLU 激活函數。

9. 全連接層 (fc2)

• 輸入尺寸: (20)
• 輸出尺寸: (8)
• 權重矩陣: (8 \times 20)
• 偏置向量: (8 \times 1)
• 描述: 將 LSTM層的輸出映射到 8 維輸出空間。

10. 輸出層 (output)

• 輸出尺寸: (8 \times 1)
• 損失函數: 均方誤差（mean-squared-error）
• 響應: “Response”
• 描述: 輸出層用于回歸任務，預測 8 維的連續值。

三、DQN求解機器人路徑規劃

3.1 環境設置

• 狀態空間：機器人當前的位置或狀態，以及與目標位置的關系。
• 動作空間：機器人可以采取的所有可能動作，如移動到相鄰位置。
• 獎勵函數：定義機器人在執行動作后獲得的即時獎勵。例如，到達目標點給予高獎勵，碰撞給予負獎勵，距離目標點越近獎勵越高。

3.2 網絡設計

DQN網絡輸入是10×10大小的地圖狀態，輸出是機器人8個方向的動作Q值。網絡結構如下：

• 輸入層：接收10×10的地圖作為輸入。
• 隱藏層：可以包含卷積層、LSTM等，用于提取地圖特征。
• 輸出層：輸出8個方向動作的Q值。

3.3 訓練過程

1. 初始化：初始化經驗池，隨機初始化Q網絡的參數，并初始化目標網絡，其參數與Q網絡相同。
2. 獲取初始狀態：機器人從環境中獲取初始狀態。
3. 選擇動作：根據當前狀態和ε-貪心策略選擇動作。
4. 執行動作并觀察：機器人執行動作并觀察新的狀態和獲得的獎勵。
5. 存儲經驗：將經驗（狀態、動作、獎勵、新狀態）存儲在經驗池中。
6. 樣本抽取與學習：從經驗池中隨機抽取樣本，并使用這些樣本來更新Q網絡。
7. 目標網絡更新：定期將Q網絡的參數復制到目標網絡。

3.4 路徑規劃

在訓練完成后，使用訓練好的DQN網絡來規劃路徑。機器人根據當前狀態和Q值函數選擇最優動作，逐步接近目標位置。

四、部分MATLAB代碼及結果

%% 畫圖
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五、完整MATLAB代碼見下方名片