【機器學習】基于t-SNE的MNIST數據集可視化探索

?一、前言

????????在機器學習和數據科學領域，高維數據的可視化是一個極具挑戰但又至關重要的問題。高維數據難以直觀地理解和分析，而有效的可視化方法能夠幫助我們發現數據中的潛在結構、模式和關系。本文以經典的MNIST手寫數字數據集為例，探討如何利用t-分布隨機鄰域嵌入（t-SNE）這一強大的降維技術，將高維的圖像數據降維到二維空間，并進行可視化展示。通過本文，我們將深入了解t-SNE的原理、算法步驟，以及如何在Python中實現并應用它，從而更好地理解和探索高維數據的內在特性。

二、技術與原理簡介

????????在深入探討t-SNE之前，我們首先需要區分機器學習中的兩大主要范疇：監督學習和無監督學習。

????????1.?監督學習

????????監督學習是指在已知輸入數據和對應標簽的情況下，訓練模型學習輸入與輸出之間的映射關系。模型通過學習大量的帶標簽數據，能夠對新的、未見過的數據進行預測或分類。常見的監督學習算法包括：

線性回歸:?用于預測連續型變量。
邏輯回歸:?用于分類問題。
支持向量機 (SVM):?用于分類和回歸問題，尤其擅長處理高維數據。
決策樹:?基于樹狀結構進行決策，易于理解和解釋。
隨機森林:?集成多個決策樹，提高預測的準確性和魯棒性。
神經網絡:?模擬人腦神經元結構，能夠學習復雜的非線性關系。

????????2. 無監督學習

????????無監督學習是指在沒有標簽的情況下，訓練模型發現數據中的潛在結構和模式。模型通過分析數據的內在特征，能夠進行聚類、降維、關聯規則挖掘等任務。常見的無監督學習算法包括：

聚類:?將數據劃分為不同的簇，使得同一簇內的數據相似度較高，不同簇之間的數據相似度較低。常見的聚類算法包括K-means、層次聚類、DBSCAN等。
降維:?將高維數據降維到低維空間，同時盡可能保留數據的關鍵信息。常見的降維算法包括主成分分析 (PCA)、t-SNE、UMAP等。
關聯規則挖掘:?發現數據中不同項之間的關聯關系，例如購物籃分析。

????????3. 監督學習與無監督學習的區別

? ? ? ? 4. MNIST數據集簡介

????????MNIST (Modified National Institute of Standards and Technology database) 是一個經典的手寫數字數據集，廣泛應用于機器學習和深度學習領域。它包含60,000個訓練樣本和10,000個測試樣本，每個樣本都是一個28x28像素的灰度圖像，代表0到9之間的手寫數字。

????????4.1 數據格式

????????MNIST數據集通常以兩種格式提供：

圖像格式:?每個樣本都是一個圖像文件，例如PNG或JPEG格式。
數值格式:?每個樣本都被轉換為一個784維的向量，其中每個元素代表一個像素的灰度值 (0到255)。

? ? ? ?4.2 數據集特點

規模適中:?MNIST數據集的規模適中，既可以用于快速原型驗證，又可以用于訓練復雜的模型。
易于獲取:?MNIST數據集可以從多個來源免費獲取，例如Scikit-learn、TensorFlow等。
廣泛應用:?MNIST數據集被廣泛應用于各種機器學習和深度學習算法的評估和比較。

? ? ? ? 5. t-SNE算法原理與數學推導

? ? ? ? 5.1 算法核心思想

????????t-SNE（t-Distributed Stochastic Neighbor Embedding）是一種非線性降維技術，通過以下步驟實現高維數據到低維空間的映射：

計算高維相似度：在原始空間中，計算每對樣本間的相似度
構建低維嵌入空間：在目標空間（如2D）中，通過優化使相似度分布匹配
梯度下降優化：最小化兩空間分布的KL散度

? ? ? ? 5.2 數學公式詳解

????????5.2.1 高維相似度計算

????????對原始空間中的樣本對(𝑥𝑖,𝑥𝑗) ，定義條件概率：

其中𝜎𝑖 ?為高斯核帶寬，通過二分查找確定以滿足** perplexity **參數（控制鄰域大小）。

????????5.2.2 低維相似度建模

????????在目標空間中，定義聯合概率：

????????采用t-分布（自由度為1的Student分布）以增強對異常值的魯棒性。

? ? ? ? 5.2.3 目標函數優化

????????通過最小化KL散度實現分布匹配：

其中

????????優化過程使用梯度下降：

? ? ? ? 5.3 算法步驟流程

參數初始化：設置降維維度（如2D）、perplexity（通常5-50）、學習率等
高維相似度計算：為每個樣本計算條件概率矩陣𝑃P
低維初始化：隨機生成初始嵌入坐標𝑌Y
梯度下降優化：迭代更新𝑌Y以最小化KL散度
結果輸出：返回低維坐標矩陣

三、代碼詳解

????????本文的代碼主要分為以下幾個部分：

????????1. 導入庫

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns
from sklearn import datasets
from sklearn import manifold
%matplotlib inline

說明：

import matplotlib.pyplot as plt: 導入matplotlib庫，用于繪制圖像。
import numpy as np: 導入numpy庫，用于進行數值計算。
import pandas as pd: 導入pandas庫，用于數據處理。
import seaborn as sns: 導入seaborn庫，用于數據可視化。
from sklearn import datasets: 導入sklearn庫中的datasets模塊，用于加載數據集。
from sklearn import manifold: 導入sklearn庫中的manifold模塊，用于降維。
%matplotlib inline: 在Jupyter Notebook中顯示圖像。

????????2. 加載數據

# 加載數據
data = datasets.fetch_openml('mnist_784', version=1, return_X_y=True)
pixel_values, targets = data
targets = targets.astype(int)# 將DataFrame轉換為numpy數組以便更容易操作
# 如果pixel_values已經是numpy數組，這一步可以跳過
if isinstance(pixel_values, pd.DataFrame):pixel_values_array = pixel_values.values
else:pixel_values_array = pixel_values

說明：

data = datasets.fetch_openml('mnist_784', version=1, return_X_y=True): 使用datasets.fetch_openml函數加載MNIST數據集。'mnist_784'表示數據集的名稱，version=1表示數據集的版本，return_X_y=True表示返回輸入數據和標簽。
pixel_values, targets = data: 將返回的數據解包為pixel_values和targets。pixel_values包含圖像的像素值，targets包含圖像的標簽。
targets = targets.astype(int): 將標簽轉換為整數類型。
if isinstance(pixel_values, pd.DataFrame):: 檢查pixel_values是否為pandas DataFrame類型。
pixel_values_array = pixel_values.values: 如果pixel_values為pandas DataFrame類型，則將其轉換為numpy數組。
else: pixel_values_array = pixel_values: 否則，直接使用pixel_values。

? ? ? ? 3. 顯示單個圖像

# 顯示單個圖像
single_image = pixel_values_array[1].reshape(28, 28)
plt.imshow(single_image, cmap='gray')

說明：

single_image = pixel_values_array[1].reshape(28, 28): 選擇第一個圖像，并將其reshape為28x28的矩陣。
plt.imshow(single_image, cmap='gray'): 使用plt.imshow函數顯示圖像，cmap='gray'表示使用灰度顏色映射。

????????4. t-SNE降維

# t-SNE降維
tsne = manifold.TSNE(n_components=2, random_state=42)
transformed_data = tsne.fit_transform(pixel_values_array[:3000])

說明：

tsne = manifold.TSNE(n_components=2, random_state=42): 創建一個t-SNE對象。n_components=2表示將數據降維到二維空間，random_state=42表示設置隨機種子，保證結果的可重復性。
transformed_data = tsne.fit_transform(pixel_values_array[:3000]): 使用fit_transform函數對數據進行降維。這里只使用了前3000個樣本，因為t-SNE的計算復雜度較高。

? ? ? ? 5. 創建DataFrame用于可視化

# 創建DataFrame用于可視化
tsne_df = pd.DataFrame(np.column_stack((transformed_data, targets[:3000])),columns=["x", "y", "targets"]
)
tsne_df.loc[:, "targets"] = tsne_df.targets.astype(int)

說明：

tsne_df = pd.DataFrame(...): 創建一個pandas DataFrame對象，用于存儲降維后的數據和標簽。
np.column_stack((transformed_data, targets[:3000])): 將降維后的數據和標簽按列拼接在一起。
columns=["x", "y", "targets"]: 設置DataFrame的列名。
tsne_df.loc[:, "targets"] = tsne_df.targets.astype(int): 將DataFrame中的標簽轉換為整數類型。

? ? ? ? 6. 可視化

# 可視化
# 注意：在新版本的seaborn中，size參數已更改為height
try:grid = sns.FacetGrid(tsne_df, hue="targets", size=8)
except TypeError:grid = sns.FacetGrid(tsne_df, hue="targets", height=8)grid.map(plt.scatter, "x", "y").add_legend()

說明：

grid = sns.FacetGrid(tsne_df, hue="targets", size=8): 創建一個seaborn FacetGrid對象，用于可視化降維后的數據。hue="targets"表示使用標簽作為顏色編碼，size=8表示設置圖像的大小。
grid.map(plt.scatter, "x", "y").add_legend(): 使用plt.scatter函數繪制散點圖，"x"和"y"表示散點圖的橫坐標和縱坐標，add_legend()表示添加圖例。

? ? ? ? 7. 完整代碼

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns
from sklearn import datasets
from sklearn import manifold
%matplotlib inline# 加載數據
data = datasets.fetch_openml('mnist_784', version=1, return_X_y=True)
pixel_values, targets = data
targets = targets.astype(int)# 將DataFrame轉換為numpy數組以便更容易操作
# 如果pixel_values已經是numpy數組，這一步可以跳過
if isinstance(pixel_values, pd.DataFrame):pixel_values_array = pixel_values.values
else:pixel_values_array = pixel_values# 顯示單個圖像
single_image = pixel_values_array[1].reshape(28, 28)
plt.imshow(single_image, cmap='gray')# t-SNE降維
tsne = manifold.TSNE(n_components=2, random_state=42)
transformed_data = tsne.fit_transform(pixel_values_array[:3000])# 創建DataFrame用于可視化
tsne_df = pd.DataFrame(np.column_stack((transformed_data, targets[:3000])),columns=["x", "y", "targets"]
)
tsne_df.loc[:, "targets"] = tsne_df.targets.astype(int)# 可視化
# 注意：在新版本的seaborn中，size參數已更改為height
try:grid = sns.FacetGrid(tsne_df, hue="targets", size=8)
except TypeError:grid = sns.FacetGrid(tsne_df, hue="targets", height=8)grid.map(plt.scatter, "x", "y").add_legend()