【抽象代數】1.1. 運算及關系

集合與映射

定義1. 設? $A_0$ ?為? $A$ ?的子集，定義 $A_0$ ?到? $A$ ?的映射? $i$ ： $A_0\Rightarrow A$ ?使得? $l(x)=x,x \in A_0$ ?，稱? $i$ ?為? $A_0$ ?到? $A$ ?的嵌入映射。

定義2. 設? $A_0$ ?為? $A$ ?的子集， $f$ ?為? $A$ ?到? $B$ ?的映射， $g$ ?為? $A_0$ ?到? $B$ ?的映射，如果? $f(x)=g(x),\forall x \in A_0$ ，稱 $f$ 為 $g$ 的開拓， $g$ ?為 $f$ ?的限制，記為 $g=f |_{A_0}$ ?。

?定義3. 設 $A_1$ ， $A_2$ 為兩個集合，令 $A_1 \times A_2=\left \{ (a,b)|a \in A_1,b \in A_2 \right \}$ ，集合稱為 $A_1$ 與 $A_2$ 的直積。

運算

定義4.?設 $A$ ， $B$ ， $D$ 為三個非空集合，一個映射 $f$ ： $A\times B\rightarrow D$ ，稱為 $A$ ?與 $B$ ?到 $D$ ?的一個代數運算。

定義5. 設 $A$ 上定義了二元運算，滿足? $ab=ba,\forall a,b \in A$ ?稱二元運算滿足交換律。

定義6.?設 $A$ 上定義了二元運算，滿足? $a(bc)=(ab)c,\forall a,b,c \in A$ ?稱這個運算滿足結合律。

定義7.?設 $A$ 上定義了兩種運算 $\circ , +$ ，滿足? $a\circ (b+c)=a\circ b+a\circ c,\forall a,b,c \in A$ ?稱這個運算滿足 $\circ$ ?對? $+$ ?的左分配律；滿足? $(b+c)\circ a=b\circ a+c\circ a,\forall a,b,c \in A$ ?稱這個運算滿足 $\circ$ ?對? $+$ ?的右分配律。

集合 $A$ 中如果 $a^n, n \in N$ 有定義，那么集合 $A$ 一定滿足結合律。

集合 $A$ 中如果 $(ab)^n=a^n b^n, n \in N$ 有定義，那么集合 $A$ 一定滿足交換律。

?構造新集合的方法——關系

定義8. 關系：集合 $A \neq \varnothing$ 中一種對兩個元素而說的一種性質，使得 $A$ 中任何兩個元素或有這種性質或沒有這種性質（兩者必居其一，用 $R$ ?來表示）。將有關系的元素對構成 $A \times A$ ?的子集， $R=\left \{ (a,b)|a R b \right \}$ ，反之， $A \times A$ 中有一個子集 $R$ ，則可以定義關系 $R$ 使得? $a Rb\Rightarrow (a,b)\in R$ 。

定義9. 設 $A \neq \varnothing$ ， $A$ ?中一個關系為 $A \times A$ 中的一個子集 $R$ 。

定義10.?設 $A \neq \varnothing$ ?中定義了關系 $R$ ，若 $R$ 滿足條件：

1）反身性 $\forall a \in A, aRa$

2）對稱性? $aRb\Rightarrow bRa$

3）傳遞性? $aRb, bRc \Rightarrow aRc$ ，則稱 $R$ 為等價關系。

定義11.?設 $A \neq \varnothing$ ， $A$ 中的一個劃分是指 $A$ 中的一些子集合的集合，滿足 $\forall a \in A$ ， $a$ 包含而且僅包含在一個子集合中。 $A$ 中的一個劃分就是將 $A$ 寫成一些不相交的非空子集合之并： $A=\cup A_i, \forall i, A_i\neq\varnothing$ ， $\forall i,j \in I, i\neq j, A_i \cap A_j=\varnothing$ 。

定義12.設 $A \neq \varnothing$ ， $A$ 中的一個等價關系 $R$ ，滿足 $\forall a \in A$ ，定義集合 $A|R=\left \{ \bar{a}|a\in A \right\}$ （重復的只取一個），稱為 $A$ 對 $R$ 的商集合。

定義13.?映射 $\pi:A\rightarrow R,\pi(a)=\bar{a}$ ，稱為 $A$ 到 $A|R$ 的自然映射。

定義14.?設 $A \neq \varnothing$ ， $A$ 中定義了一個二元運算? $\circ$ ，有定義了等價關系 $R$ ，如果 $R$ 與 $\circ$ 滿足條件： $a_1Rb_1,a_2Rb_2\Rightarrow a_1\circ a_2 R b_1 \circ b_2$ ，則稱 $R$ 為 $\circ$ 的同余關系。

定理1.? $A$ 的一個分類決定 $A$ 中的一個等價關系。

定理2.? $A$ 的一個等價關系決定 $A$ 中的一個分類。

本文來自互聯網用戶投稿，該文觀點僅代表作者本人，不代表本站立場。本站僅提供信息存儲空間服務，不擁有所有權，不承擔相關法律責任。
如若轉載，請注明出處：http://www.pswp.cn/web/68208.shtml
繁體地址，請注明出處：http://hk.pswp.cn/web/68208.shtml
英文地址，請注明出處：http://en.pswp.cn/web/68208.shtml

如若內容造成侵權/違法違規/事實不符，請聯系多彩編程網進行投訴反饋email:809451989@qq.com，一經查實，立即刪除！