假設檢驗是統計學里的重要方法，同時也是一種“在理想與現實之間觀察求索”的測試活動。假設檢驗從概率的角度去考察理想與現實之間的關系，籍此來緩解測試可信性問題。

我們先來看一個例子。民航旅客服務系統，簡稱PSS系統，有一種業務叫換飛機，如果一個航班，原定執飛的飛機出了故障，就需要換飛機。但是可能換不到原來機型的飛機，比如原來是一個空客320，只能換到一個波音737，這就比較麻煩了，系統需要做很多事，要更換航班布局、所有旅客要重新安排座位，等等。用的時間會比較長。

假設PSS系統的一個期望是“換飛機的平均處理時長不超過160秒”。這是一個關于系統性能的期望。測試的時候，我們把換飛機的用例重復執行了6次，發現每次執行的系統處理時長都不一樣，平均值是170秒。

那么我們的測試結論應該是什么？能斷定系統性能不符合預期嗎？顯然不能，因為測試結果是一個隨機變量，我們只測了6次，如果再多測幾次，平均值可能就低于160秒了。

切比雪夫大數定律告訴我們，如果測試的次數足夠多，處理時長的算數平均值就會趨近于數學期望，也就是真正的“平均處理時長”。但是我們的資源是有限的，只夠我們做6次測試，所以結果一定有偏差，這就是抽樣誤差。而且，測試的次數越少，測試結果的方差越大，抽樣誤差也就越大。如果直接拿這樣的結果去下測試結論，一定是有偏頗的。這就是測試的五個基本問題之一——測試可信性問題的典型表現。

怎么辦呢？還是要依靠統計的思想。如果我們能知道，“6次測試的均值是170秒”，這樣一個結果發生的概率是多少，我們就能更準確地判斷，系統性能是不是符合預期，或者說，有多大可能符合預期，測試結論就能更靠譜一些。

那么，怎么才能知道170秒這個結果發生的概率是多少呢？這就是抽樣分布問題。抽樣分布研究的是：從總體中抽取的樣本，應該具有什么樣的統計特征，跟總體的統計特征有什么關系。這是統計學里的一個重要課題。

比方說，桶里面有4個球，重量分別是2/3/3/4公斤。總體的數學期望是3，方差是0.5，標準差是0.707。我們用放回抽樣的方式，從桶里抽2個球當樣本，也就是先抽一個，看看是多重的，放回桶里，再抽下一個。可能的抽樣結果一共有這樣16種：

每種結果出現的可能性是相同的，都是1/16。這樣我們就可以算出每種抽樣結果的樣本均值，以及所有16種樣本均值的數學期望和方差。可以看到，樣本均值的數學期望和總體的數學期望一樣，都是3；樣本均值的方差是0.25，也就是總體方差除以樣本量2。

如果增加樣本量，比如抽4個球，我們會發現結論是相同的，樣本均值的數學期望還是跟總體數學期望一樣；樣本均值的方差還是等于“總體方差除以樣本量”——看起來是有規律的。

接下來我們看樣本均值的概率分布。來算一下各種不同的樣本均值出現的概率，比如16種抽樣結果里，樣本均值是2.0的情況只出現了一次，所以2.0的概率是1/16；2.5出現了4次，所以2.5的概率是1/4。算出各個樣本均值的概率之后，就可以畫出樣本均值的概率分布曲線了：

看得出來，已經有點像正態分布了。如果樣本量是4，樣本均值的概率分布曲線是下面這個樣子，就更加接近正態分布：

從這個例子，我們可以引出抽樣分布的一組基本規律：

1. 樣本量越大，樣本均值越趨近于服從正態分布。

2. 樣本均值的數學期望與總體的數學期望相同。

3. 樣本均值的方差等于總體方差除以樣本量。

到這里，我們就完成了假設檢驗的理論儲備。那假設檢驗具體是怎么做的呢？我們還是用換飛機的例子來說明。

① 首先第一步是建立假設。我們先假設換飛機的平均處理時長是符合預期的，最多就是160秒。也就是說，總體均值是160。這個假設叫零假設。如果零假設成立，為什么實際測試結果均值會是170秒呢？因為這個170秒是“樣本均值”，跟“總體均值”之間有抽樣誤差。但是根據抽樣分布規律，樣本均值服從正態分布，有99.7%的概率會落在160附近6倍標準差的范圍內，所以這個誤差一般不會特別大，如果特別大就說明零假設有問題；

② 那怎么才算特別大呢？我們需要設定一個閾值，也叫顯著水平，意思是“理想和現實的差異是不是足夠顯著”，一般取一個比較小的值，比如0.05。如果一個抽樣誤差出現的概率比這個顯著水平還要低，那這個抽樣誤差就算“特別大”了，我們就可以認為，出現這種程度的誤差是一個小概率事件，在一次測試里面是不可能發生的。這就是小概率事件的實際不可能原理；

③ 第三步，在零假設的基礎上，計算測試結果的發生概率。我們做了6次性能測試，相當于抽取了6個樣本，樣本均值是170秒。按照抽樣分布規律，樣本均值近似服從正態分布，這個正態分布的數學期望跟總體一樣是160。另外假定總體方差已知，是144，那么樣本均值的方差就是144/6=24。因此，樣本均值的概率分布應該是：

在這樣一個概率分布上，實際結果是170，也就是說，比均值160高出了10以上。這個結果的概率算下來是：

④ 最后，把這個概率跟顯著水平0.05作比較，發現比顯著水平要小，說明測試結果是一個小概率事件，但是的的確確發生了。也就是說，從零假設出發推出了矛盾，當然這個矛盾是統計意義上的矛盾。這時候，我們就可以否定零假設，所以最終的測試結論是，在顯著水平0.05的意義上，換飛機的平均處理時長不符合預期，超過了160秒。

把假設檢驗的過程總結成一句話，就是：首先假設理想和現實相符，然后根據抽樣分布規律，計算測試結果出現的概率，如果概率比顯著水平低，就否定零假設，如果概率比顯著水平高，就接受零假設。