矩母函數（MGF）簡介

矩母函數（Moment Generating Function，MGF）是概率統計中描述隨機變量分布特征的重要工具。MGF的主要用途是通過導數來計算隨機變量的矩（比如均值、方差等），同時它也能幫助確定隨機變量的分布。

定義

對于隨機變量 $X$，其矩母函數 $M_X(t)$ 定義為：

$$M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]={\int }_{?\infty }^{\infty }{e}^{tx}{f}_X(x)dx$$

• $t$ 是實數；
• $f_X(x)$ 是隨機變量 $X$ 的概率密度函數（對于離散分布，積分換成求和）。

矩母函數在 $t=0$ 的值總是 1，即 $M_X(0)=1$。

性質

1. 矩的生成：隨機變量的 $n$ 階原點矩可由 $M_X(t)$ 的 $n$ 階導數得到：
   $$\mathbb{E}[X^n]=M_X^{(n)}(0)$$
   即在 $t=0$ 處對 $t$ 求 $n$ 階導數。

2. 分布唯一性：如果兩個隨機變量 $X$ 和 $Y$ 的矩母函數在某個區間內一致，則它們具有相同的分布。

3. 獨立性：如果 $X$ 和 $Y$ 獨立，則 $Z=X+Y$ 的矩母函數是 $X$ 和 $Y$ 的矩母函數的乘積：
   $$M_Z(t)=M_X(t)?M_Y(t)$$

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例子：指數分布的矩母函數

1. 指數分布定義

假設隨機變量 $X$ 遵循參數為 $\lambda >0$ 的指數分布，其概率密度函數為：
$$f_X(x)=\lambda e^{?\lambda x},x\ge 0$$

2. 矩母函數計算

根據矩母函數的定義：
$$M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]={\int }_0^{\infty }{e}^{tx}?\lambda e^{?\lambda x}dx$$

合并指數項 $e^{tx}?e^{?\lambda x}=e^{?(\lambda ?t)x}$，得：
$$M_X(t)=\lambda {\int }_0^{\infty }{e}^{?(\lambda ?t)x}dx$$

積分結果為：
$${\int }_0^{\infty }{e}^{?ax}dx=\frac{1}{a},a>0$$

因此，當 $t<\lambda$ 時：
$$M_X(t)=\frac{\lambda }{\lambda ?t}$$

而當 $t\ge \lambda$ 時，積分發散，MGF 不存在。

3. 利用 MGF 計算均值和方差

• 均值：隨機變量的均值是矩母函數的導數在 $t=0$ 處的值：
  $$\mathbb{E}[X]=M_X^{\prime }(0)$$
  對 $M_X(t)=\frac{\lambda }{\lambda ?t}$ 求導：
  $$M_X^{\prime }(t)=\frac{\lambda }{(\lambda ?t{)}^2}$$
  當 $t=0$ 時：
  $$M_X^{\prime }(0)=\frac{\lambda }{{\lambda }^2}=\frac{1}{\lambda }$$
  所以，均值 $\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda }$。

• 方差：隨機變量的方差可以由 $\mathbb{E}[X^2]?(\mathbb{E}[X]{)}^2$ 得到，而 $\mathbb{E}[X^2]=M_X^{\prime \prime }(0)$。對 $M_X^{\prime }(t)$ 再求導：
  $$M_X^{\prime \prime }(t)=\frac{2\lambda }{(\lambda ?t{)}^3}$$
  當 $t=0$ 時：
  $$M_X^{\prime \prime }(0)=\frac{2\lambda }{{\lambda }^3}=\frac{2}{{\lambda }^2}$$
  所以：
  $$\text{方差?}\text{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]?(\mathbb{E}[X]{)}^2=\frac{2}{{\lambda }^2}?{\left(\frac{1}{\lambda }\right)}^2=\frac{1}{{\lambda }^2}$$

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總結

矩母函數是分析隨機變量特性的重要工具，其計算遵循積分定義。通過矩母函數，能有效推導隨機變量的均值、方差及高階矩等信息。在實際應用中，掌握如何從分布定義出發計算 MGF 是關鍵步驟。