7.傅里葉級數練習題

設函數：
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}?x,& 0\le x\le \frac{1}{2},\\ 2?2x,& \frac{1}{2}<x<1,\end{array}$$
將 (f(x)) 展開成周期 (T = 2) 的正弦級數，則：
$$S\left(?\frac{5}{2}\right)=?$$

(A) (0)
(B) (\frac{1}{4})
? (-\frac{1}{4})
(D) (1)

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解答

注意周期 (T = 2) 且為正弦級數，由傅里葉級數收斂定理，可計算如下：

$$S\left(?\frac{5}{2}\right)=S\left(?\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\left[f\left(\frac{1}{2}?0\right)+f\left(\frac{1}{2}+0\right)\right].$$

根據定義，代入 (f(x)) 的表達式：
$$f\left(\frac{1}{2}?0\right)=?\frac{1}{2},f\left(\frac{1}{2}+0\right)=2?2?\frac{1}{2}=1.$$

因此：
$$S\left(?\frac{5}{2}\right)=\frac{1}{2}\left[?\frac{1}{2}+1\right]=?\frac{1}{4}.$$

答案

選擇 ?。

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設 $ f(x) $ 的周期為 $ 2\pi $，在 $(?\pi ,\pi ]$ 上 $ f(x) = x + x^2 $，其三角級數為

$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)=S(x)$$

則 $ b_3 + S(π) = $

(A) 0.

(B) $ π^2 $.

? $ \frac{2}{3} + π^2 $.

(D) $ \frac{2}{3} - π^2 $.

解析

選 ?.

$$b_3=\frac{1}{\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }(x+x^2)\sin 3xdx=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }x\sin 3xdx=\frac{2}{3},$$

$$S(\pi )=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos n\pi +b_n\sin n\pi )=f^{?}(\pi )=\frac{f({\pi }^{?})+f(?{\pi }^{+})}{2}$$

$$=\frac{1}{2}\left[(\pi +{\pi }^2)+(?\pi +{\pi }^2)\right]={\pi }^2,$$

故 $ b_3 + S(π) = \frac{2}{3} + π^2 $.