1 緒論
消息: 通信系統傳輸對象, 信息的載體和物理表現形式.
信息: 消息的有效內容和內涵.
信號: 消息的傳輸載體.
模擬通信: 信源 → \to → 調制器 → \to → 信道(噪聲) → \to → 解調器 → \to → 信宿.
數字通信: 信源 → \to → 信源編碼(壓縮+數字化) → \to → 加密 → \to → 信道編碼(差錯控制+信道復用) → \to → 數字調制(信息載波) → \to → 信道(噪聲+干擾) → \to → 數字解調(已調信號卸載信息) → \to → 信道譯碼(最佳接收) → \to → 解密 → \to → 信源譯碼 → \to → 信宿; 同步.
優點: 抗干擾能力強, 噪聲不積累; 傳輸差錯可控; 便于處理, 變換, 存儲; 便于復用; 易于集成; 易于加密.
缺點: 需要較大的傳輸帶寬; 對同步要求高.
信道信號特征: 模擬(連續); 數字(離散).
傳輸方式: 基帶(未調制數字信號); 帶通(已調信號).
復用方式: 頻分; 時分; 碼分; 波分; 空分.
傳輸方向和時間: 單工; 半雙工; 全雙工.
信息量: I ( x ) = ? log ? p ( x ) I(x)=-\log p(x) I(x)=?logp(x); 底 2 2 2 為比特(bit), e e e 為奈特(nat), 10 10 10 為哈特萊(Hartley).
信息熵(平均信息量): H ( X ) = ? ∫ ? ∞ + ∞ f ( x ) log ? f ( x ) d x H(X)=-\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\log f(x)\mathrm{d}x H(X)=?∫?∞+∞?f(x)logf(x)dx.
性能指標: 有效性 - 傳輸帶寬/頻帶利用率; 可靠性 - 輸出信噪比/差錯概率.
傳輸速率: 波特率(碼元) R B = 1 T B R_B=\frac{1}{T_B} RB?=TB?1? (Baud); 比特率(信息) R b = R B H R_b=R_BH Rb?=RB?H ( M M M 進制等概率時) = R B log ? M =R_B\log M =RB?logM (bps).
頻帶利用率: η = R B B \eta=\frac{R_B}{B} η=BRB?? (Baud/Hz); η b = R b B \eta_b=\frac{R_b}{B} ηb?=BRb?? (bps/Hz).
誤碼率 P e P_e Pe?; 誤信率(誤比特率) P b P_b Pb?; 2 2 2 進制時 P b = P e P_b=P_e Pb?=Pe?; M > 2 M>2 M>2 進制時 P b < P e P_b<P_e Pb?<Pe?.
卷積定理: f ( t ) ? F ( ω ) f(t)\leftrightarrow F(\omega) f(t)?F(ω), g ( t ) ? G ( ω ) ? f ( t ) ? g ( t ) ? F ( ω ) G ( ω ) g(t)\leftrightarrow G(\omega)\implies f(t)*g(t)\leftrightarrow F(\omega)G(\omega) g(t)?G(ω)?f(t)?g(t)?F(ω)G(ω), f ( t ) g ( t ) ? 1 2 π F ( ω ) ? G ( ω ) f(t)g(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}F(\omega)*G(\omega) f(t)g(t)?2π1?F(ω)?G(ω); ω = 2 π f \omega=2\pi f ω=2πf.
| f ( t ) f(t) f(t) | F ( ω ) F(\omega) F(ω) | f ( t ) f(t) f(t) | F ( ω ) F(\omega) F(ω) |
|---|---|---|---|
| δ ( t ) \delta(t) δ(t) | 1 1 1 | r e c t ( t τ ) {\rm rect}(\frac{t}{\tau}) rect(τt?) | τ S a ( ω τ 2 ) \tau{\rm Sa}(\frac{\omega\tau}{2}) τSa(2ωτ?) |
| 1 1 1 | 2 π δ ( ω ) 2\pi\delta(\omega) 2πδ(ω) | W 2 π S a ( W t 2 ) \frac{W}{2\pi}{\rm Sa}(\frac{Wt}{2}) 2πW?Sa(2Wt?) | r e c t ( ω W ) {\rm rect}(\frac{\omega}{W}) rect(Wω?) |
| e j ω 0 t e^{j\omega_0t} ejω0?t | 2 π δ ( ω ? ω 0 ) 2\pi\delta(\omega-\omega_0) 2πδ(ω?ω0?) | cos ? ( ω 0 t ) \cos(\omega_0t) cos(ω0?t) | π [ δ ( ω + ω 0 ) + δ ( ω ? ω 0 ) ] \pi[\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0)] π[δ(ω+ω0?)+δ(ω?ω0?)] |
| s g n ( t ) {\rm sgn}(t) sgn(t) | 2 j ω \frac{2}{j\omega} jω2? | sin ? ( ω 0 t ) \sin(\omega_0t) sin(ω0?t) | π j [ δ ( ω + ω 0 ) ? δ ( ω + ω 0 ) ] \pi j[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)] πj[δ(ω+ω0?)?δ(ω+ω0?)] |
| j π t \frac{j}{\pi t} πtj? | s g n ( ω ) {\rm sgn}(\omega) sgn(ω) | e ? α ∣ t ∣ e^{-\alpha|t|} e?α∣t∣ | 2 α α 2 + ω 2 \frac{2\alpha}{\alpha^2+\omega^2} α2+ω22α? |
| u ( t ) u(t) u(t) | π δ ( ω ) + 1 j ω \pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega} πδ(ω)+jω1? | u ( t ) e ? α t u(t)e^{-\alpha t} u(t)e?αt | 1 α + j ω \frac{1}{\alpha+j\omega} α+jω1? |
| δ T ( t ) = ∑ ? ∞ + ∞ δ ( t ? n T 0 ) \delta_T(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT_0) δT?(t)=∑?∞+∞?δ(t?nT0?) | ω 0 ∑ ? ∞ + ∞ δ ( ω ? n ω 0 ) \omega_0\sum_{-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-n\omega_0) ω0?∑?∞+∞?δ(ω?nω0?) | u ( t ) t e ? α t u(t)te^{-\alpha t} u(t)te?αt | 1 ( α + j ω ) 2 \frac{1}{(\alpha+j\omega)^2} (α+jω)21? |
| A t 0 ( t 0 2 ? ∣ τ ∣ ) \frac{A}{t_0}(t_0^2-|\tau|) t0?A?(t02??∣τ∣) | A t 0 S a 2 ω t 0 2 At_0{\rm Sa}^2\frac{\omega t_0}{2} At0?Sa22ωt0?? |
沖激信號: ∫ ? ∞ + ∞ δ ( t ) d t = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\mathrm{d}t=1 ∫?∞+∞?δ(t)dt=1, δ ( t ) = 0 ( t ≠ 0 ) \delta(t)=0\ (t\ne 0) δ(t)=0?(t=0); Δ ( f ) = 1 \Delta(f)=1 Δ(f)=1.
單位階躍函數: u ( t ) = 0 , t < 0 ; 1 , t ≥ 0 u(t)=0,\ t<0;\ 1,\ t\geq 0 u(t)=0,?t<0;?1,?t≥0; u ′ ( t ) = δ ( t ) u'(t)=\delta(t) u′(t)=δ(t).
抽樣函數: f ( t 0 ) = ∫ ? ∞ + ∞ f ( t ) δ ( t ? t 0 ) d t f(t_0)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t-t_0)\mathrm{d}t f(t0?)=∫?∞+∞?f(t)δ(t?t0?)dt, 其中 f ( t ) f(t) f(t) 在 t 0 t_0 t0? 處連續.
采樣函數: S a ( t ) = s i n c ( t ) = sin ? t t {\rm Sa}(t)={\rm sinc}(t)=\frac{\sin t}{t} Sa(t)=sinc(t)=tsint?; δ ( t ) = lim ? t → ∞ k π S a ( k t ) \delta(t)=\lim_{t\to\infty}\frac{k}{\pi}{\rm Sa}(kt) δ(t)=limt→∞?πk?Sa(kt).
沖激響應: h ( t ) h(t) h(t); 輸入單位沖激信號的零狀態響應.
頻率響應: h ( t ) ? H ( f ) h(t)\leftrightarrow H(f) h(t)?H(f).
能量 E = ∫ ? ∞ + ∞ s 2 ( t ) d t E=\int_{-\infty}^{+\infty}s^2(t)\mathrm{d}t E=∫?∞+∞?s2(t)dt; 平均功率 P = lim ? T → ∞ 1 T ∫ ? T 2 T 2 s 2 ( t ) d t P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}s^2(t)\mathrm{d}t P=limT→∞?T1?∫?2T?2T??s2(t)dt.
能量信號: 0 < E < + ∞ 0<E<+\infty 0<E<+∞ 即 P = 0 P=0 P=0.
功率信號: 0 < P < + ∞ 0<P<+\infty 0<P<+∞ 即 E → + ∞ E\to+\infty E→+∞.
周期信號: s ( t ) = s ( t + T ) s(t)=s(t+T) s(t)=s(t+T); 必為功率信號.
能量信號頻譜密度/連續譜: S ( f ) = ∫ ? ∞ + ∞ s ( t ) e ? 2 π j f t d t S(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}s(t)e^{-2\pi jft}\mathrm{d}t S(f)=∫?∞+∞?s(t)e?2πjftdt; Fourier 變換; 單位 V/Hz.
能量譜密度: G ( f ) = ∣ S ( f ) ∣ 2 G(f)=|S(f)|^2 G(f)=∣S(f)∣2.
能量(Parseval): E = ∫ ? ∞ + ∞ s 2 ( t ) d t = ∫ ? ∞ + ∞ G ( f ) d f E=\int_{-\infty}^{+\infty}s^2(t)\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{+\infty}G(f)\mathrm{d}f E=∫?∞+∞?s2(t)dt=∫?∞+∞?G(f)df; 實信號時 E = 2 ∫ 0 + ∞ G ( f ) d f E=2\int_0^{+\infty}G(f)\mathrm{d}f E=2∫0+∞?G(f)df.
自相關函數: R ( τ ) = ∫ ? ∞ + ∞ s ( t ) s ( t + τ ) d t R(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}s(t)s(t+\tau)\mathrm{d}t R(τ)=∫?∞+∞?s(t)s(t+τ)dt; R ( ? τ ) = R ( τ ) R(-\tau)=R(\tau) R(?τ)=R(τ), R ( 0 ) = E R(0)=E R(0)=E; R ( τ ) ? ∣ S ( f ) ∣ 2 = G ( f ) R(\tau)\leftrightarrow |S(f)|^2=G(f) R(τ)?∣S(f)∣2=G(f).
互相關函數: R 12 ( τ ) = ∫ ? ∞ + ∞ s 1 ( t ) s 2 ( t + τ ) d t R_{12}(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}s_1(t)s_2(t+\tau)\mathrm{d}t R12?(τ)=∫?∞+∞?s1?(t)s2?(t+τ)dt; R 21 ( τ ) = R 12 ( ? τ ) R_{21}(\tau)=R_{12}(-\tau) R21?(τ)=R12?(?τ); R 12 ( τ ) ? S 1 ? ( f ) S 2 ( f ) = S 12 ( f ) R_{12}(\tau)\leftrightarrow S_1^*(f)S_2(f)=S_{12}(f) R12?(τ)?S1??(f)S2?(f)=S12?(f); S 12 ( f ) S_{12}(f) S12?(f) 為互能量譜密度.
功率信號頻譜/離散譜: C n = 1 T ∫ ? T 2 T 2 e ? 2 π j n f t s ( t ) d t C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{-2\pi jnft}s(t)\mathrm{d}t Cn?=T1?∫?2T?2T??e?2πjnfts(t)dt; Fourier 級數; C ( n f ) : = C n C(nf):=C_n C(nf):=Cn? 為復振幅, 模長為振幅, 角度為初相; f f f 為基頻, n f nf nf 為諧頻; 單位 V.
周期信號: s ( t ) = ∑ n = ? ∞ + ∞ C n e 2 π j n f t , f = 1 T s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}C_ne^{2\pi jnft},\ f=\frac{1}{T} s(t)=∑n=?∞+∞?Cn?e2πjnft,?f=T1?; Fourier 級數.
離散功率譜: P = 1 T 0 ∫ ? T 0 2 T 0 2 s 2 ( t ) d t = ∑ ? ∞ + ∞ ∣ C n ∣ 2 P=\frac{1}{T_0}\int^\frac{T_0}{2}_{-\frac{T_0}{2}}s^2(t)\mathrm{d}t=\sum^{+\infty}_{-\infty}|C_n|^2 P=T0?1?∫?2T0??2T0???s2(t)dt=∑?∞+∞?∣Cn?∣2.
連續功率譜/功率譜密度: P ( f ) = ∑ ? ∞ + ∞ ∣ C ( f ) ∣ 2 δ ( f ? n f 0 ) P(f)=\sum^{+\infty}_{-\infty}|C(f)|^2\delta(f-nf_0) P(f)=∑?∞+∞?∣C(f)∣2δ(f?nf0?).
功率: P = ∫ ? ∞ + ∞ P ( f ) d f P=\int_{-\infty}^{+\infty}P(f)\mathrm{d}f P=∫?∞+∞?P(f)df.
自相關函數: R ( τ ) = lim ? T → ∞ 1 T ∫ ? T 2 T 2 s ( t ) s ( t + τ ) d t R(\tau)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}s(t)s(t+\tau)\mathrm{d}t R(τ)=limT→∞?T1?∫?2T?2T??s(t)s(t+τ)dt; R ( ? τ ) = R ( τ ) R(-\tau)=R(\tau) R(?τ)=R(τ), R ( 0 ) = P R(0)=P R(0)=P; R ( τ ) ? P ( f ) R(\tau)\leftrightarrow P(f) R(τ)?P(f).
特別為周期信號時 R ( τ ) ? P ( f ) R(\tau)\leftrightarrow P(f) R(τ)?P(f).
互相關函數: R 12 ( τ ) = lim ? T → ∞ 1 T ∫ ? T 2 T 2 s 1 ( t ) s 2 ( t + τ ) d t R_{12}(\tau)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}s_1(t)s_2(t+\tau)\mathrm{d}t R12?(τ)=limT→∞?T1?∫?2T?2T??s1?(t)s2?(t+τ)dt; R 21 ( τ ) = R 12 ( ? τ ) R_{21}(\tau)=R_{12}(-\tau) R21?(τ)=R12?(?τ).
同周期時: R 12 ( τ ) = 1 T ∫ ? T 2 T 2 s 1 ( t ) s 2 ( t + τ ) d t R_{12}(\tau)=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}s_1(t)s_2(t+\tau)\mathrm{d}t R12?(τ)=T1?∫?2T?2T??s1?(t)s2?(t+τ)dt.
隨機過程: 樣本函數的集合; 隨機變量的時間函數.
n n n 維分布函數: F n ( { x 1 } i = 1 n ; { t i } t = 1 n ) = P { { ξ ( t i ) ≤ x i } i = 1 n } F_n(\{x_1\}_{i=1}^n;\ \{t_i\}_{t=1}^n)=P\{\{\xi(t_i)\leq x_i\}_{i=1}^n\} Fn?({x1?}i=1n?;?{ti?}t=1n?)=P{{ξ(ti?)≤xi?}i=1n?}.
n n n 維概率密度函數: f n ( { x 1 } i = 1 n ; { t i } t = 1 n ) = ? F n ( { x 1 } i = 1 n ; { t i } t = 1 n ) ∏ i = 1 n ? x i f_n(\{x_1\}_{i=1}^n;\ \{t_i\}_{t=1}^n)=\frac{\partial F_n(\{x_1\}_{i=1}^n;\ \{t_i\}_{t=1}^n)}{\prod_{i=1}^n\partial x_i} fn?({x1?}i=1n?;?{ti?}t=1n?)=∏i=1n??xi??Fn?({x1?}i=1n?;?{ti?}t=1n?)?.
數學期望(統計平均): E [ ξ ( t ) ] : = ∫ ? ∞ + ∞ x f 1 ( x , t ) d x : = a ( t ) E[\xi(t)]:=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_1(x,t)\mathrm{d}x:=a(t) E[ξ(t)]:=∫?∞+∞?xf1?(x,t)dx:=a(t).
方差: D [ ξ ( t ) ] : = E [ ξ ( t ) ? a ( t ) ] 2 = E [ ξ 2 ( t ) ] ? a 2 ( t ) D[\xi(t)]:=E[\xi(t)-a(t)]^2=E[\xi^2(t)]-a^2(t) D[ξ(t)]:=E[ξ(t)?a(t)]2=E[ξ2(t)]?a2(t).
自相關函數: R ( t 1 , t 2 ) : = E [ ξ ( t 1 ) ξ ( t 2 ) ] R(t_1,t_2):=E[\xi(t_1)\xi(t_2)] R(t1?,t2?):=E[ξ(t1?)ξ(t2?)].
互相關函數: R ξ η ( t 1 , t 2 ) : = E [ ξ ( t 1 ) η ( t 2 ) ] R_{\xi\eta}(t_1,t_2):=E[\xi(t_1)\eta(t_2)] Rξη?(t1?,t2?):=E[ξ(t1?)η(t2?)].
協方差: B ( t 1 , t 2 ) : = E [ ξ ( t 1 ) ? a ( t 1 ) ] [ ξ ( t 2 ) ? a ( t 2 ) ] = R ( t 1 , t 2 ) ? a ( t 1 ) a ( t 2 ) B(t_1,t_2):=E[\xi(t_1)-a(t_1)][\xi(t_2)-a(t_2)]=R(t_1,t_2)-a(t_1)a(t_2) B(t1?,t2?):=E[ξ(t1?)?a(t1?)][ξ(t2?)?a(t2?)]=R(t1?,t2?)?a(t1?)a(t2?).
嚴格平穩: 一維分布和概率密度時間無關, 二維分布只與時間間隔 τ \tau τ 有關.
廣義平穩: 均值與時間無關 E [ ξ ( t ) ] = a E[\xi(t)]=a E[ξ(t)]=a, 自相關函數只與時間間隔有關 R ( t 1 , t 2 ) = R ( τ ) R(t_1,t_2)=R(\tau) R(t1?,t2?)=R(τ).
各態遍歷性/歷經性: 平穩且時間平均等于統計平均 a = a ˉ : = x ( t ) ￣ : = lim ? T → ∞ 1 T ∫ ? T 2 T 2 x ( t ) d t a=\bar{a}:=\overline{x(t)}:=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)\mathrm{d}t a=aˉ:=x(t)?:=limT→∞?T1?∫?2T?2T??x(t)dt, R ( τ ) = R ( τ ) ￣ : = x ( t ) x ( t + τ ) ￣ : = lim ? T → ∞ 1 T ∫ ? T 2 T 2 x ( t ) x ( t + τ ) d t R(\tau)=\overline{R(\tau)}:=\overline{x(t)x(t+\tau)}:=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)x(t+\tau)\mathrm{d}t R(τ)=R(τ)?:=x(t)x(t+τ)?:=limT→∞?T1?∫?2T?2T??x(t)x(t+τ)dt.
自相關函數: R ( τ ) = E [ ξ ( t ) ξ ( t + ξ ) ] R(\tau)=E[\xi(t)\xi(t+\xi)] R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+ξ)]; R ( τ ) = R ( ? τ ) R(\tau)=R(-\tau) R(τ)=R(?τ); ∣ R ( τ ) ∣ ≤ R ( 0 ) = E [ ξ 2 ( t ) ] |R(\tau)|\leq R(0)=E[\xi^2(t)] ∣R(τ)∣≤R(0)=E[ξ2(t)] 平均功率和上界; R ( ∞ ) = E 2 [ ξ ( t ) ] = a 2 R(\infty)=E^2[\xi(t)]=a^2 R(∞)=E2[ξ(t)]=a2 直流功率; R ( 0 ) ? R ( ∞ ) = σ 2 R(0)-R(\infty)=\sigma^2 R(0)?R(∞)=σ2 交流功率(方差).
功率譜密度: 所有樣本功率譜的統計平均 P ξ ( f ) : = E [ P f ( f ) ] = lim ? T → ∞ E [ F T ( f ) ] 2 T P_\xi(f):=E[P_f(f)]=\lim_{T\to\infty}\frac{E[F_T(f)]^2}{T} Pξ?(f):=E[Pf?(f)]=limT→∞?TE[FT?(f)]2?; P ξ ( f ) ≥ 0 P_\xi(f)\geq 0 Pξ?(f)≥0, P ξ ( ? f ) = P ξ ( f ) P_\xi(-f)=P_\xi(f) Pξ?(?f)=Pξ?(f), R ( 0 ) = ∫ ? ∞ + ∞ P ξ ( f ) d f R(0)=\int_{-\infty}^{+\infty}P_\xi(f)\mathrm{d}f R(0)=∫?∞+∞?Pξ?(f)df.
Wiener-Khinchine: R ( τ ) ? P ξ ( f ) R(\tau)\leftrightarrow P_\xi(f) R(τ)?Pξ?(f).
Gauss: n n n 維分布只依賴于各項均值, 方差, 歸一化協方差; 廣義平穩時嚴格平穩; 不同時刻不相關時統計獨立; 線性變換后仍為 Gauss 過程.
概率密度函數: f ( x ) = 1 2 π σ exp ? { ? ( x ? a ) 2 2 σ 2 } f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}\} f(x)=2π?σ1?exp{?2σ2(x?a)2?}; f ( a + x ) = f ( a ? x ) f(a+x)=f(a-x) f(a+x)=f(a?x); ∫ ? ∞ a f ( x ) d x = ∫ a + ∞ f ( x ) d x = 1 2 \int_{-\infty}^a f(x)\mathrm{d}x=\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2} ∫?∞a?f(x)dx=∫a+∞?f(x)dx=21?.
誤差函數: e r f ( x ) = 2 π ∫ 0 x e ? t 2 d t {\rm erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\mathrm{d}t erf(x)=π?2?∫0x?e?t2dt; e r f ( 0 ) = 0 {\rm erf}(0)=0 erf(0)=0, e r f ( + ∞ ) = 1 {\rm erf}(+\infty)=1 erf(+∞)=1, e r f ( ? x ) = ? e r f ( x ) {\rm erf}(-x)=-{\rm erf}(x) erf(?x)=?erf(x), 單調遞增; x ? 1 x\ll 1 x?1 時 e r f ( x ) ≈ 2 x π {\rm erf}(x)\approx\frac{2x}{\sqrt{\pi}} erf(x)≈π?2x?.
補誤差函數: e r f c ( x ) = 1 ? e r f ( x ) {\rm erfc}(x)=1-{\rm erf}(x) erfc(x)=1?erf(x); x ? 1 x\gg 1 x?1 時 e r f c ( x ) ≈ e ? 2 x 2 x π {\rm erfc}(x)\approx\frac{e^{-2x^2}}{x\sqrt{\pi}} erfc(x)≈xπ?e?2x2?.
分布函數: F ( x ) = 1 2 + 1 2 e r f ( x ? a 2 σ ) F(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{\rm erf}(\frac{x-a}{\sqrt{2}\sigma}) F(x)=21?+21?erf(2?σx?a?).
| 線性系統 | 輸入 | 輸出 |
|---|---|---|
| 時域 | ν i ( t ) \nu_i(t) νi?(t) | 卷積 ν o ( t ) = ν i ( t ) ? h ( t ) : = ∫ ? ∞ + ∞ ν i ( τ ) h ( t ? τ ) d τ \nu_o(t)=\nu_i(t)*h(t):=\int_{-\infty}^{+\infty}\nu_i(\tau)h(t-\tau)\mathrm{d}\tau νo?(t)=νi?(t)?h(t):=∫?∞+∞?νi?(τ)h(t?τ)dτ |
| 頻域 | V i ( f ) V_i(f) Vi?(f) | V o ( f ) = H ( f ) V i ( f ) V_o(f)=H(f)V_i(f) Vo?(f)=H(f)Vi?(f) |
| 概率分布 | 平穩/高斯 | 平穩/高斯 |
| 數學期望 | E [ ξ i ( t ) ] = a E[\xi_i(t)]=a E[ξi?(t)]=a | $E[\xi_0(t)]=aH(0)\$ H ( 0 ) = ∫ ? ∞ + ∞ h ( τ ) d τ H(0)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)\mathrm{d}\tau H(0)=∫?∞+∞?h(τ)dτ 為直流增益 |
| 自相關函數 | R i ( τ ) R_i(\tau) Ri?(τ) | R o ( τ ) = ∫ ? ∞ + ∞ ∫ ? ∞ + ∞ h ( α ) h ( β ) R i ( τ + α ? β ) d α d β R_o(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}h(\alpha)h(\beta)R_i(\tau+\alpha-\beta)\mathrm{d}\alpha\mathrm{d}\beta Ro?(τ)=∫?∞+∞?∫?∞+∞?h(α)h(β)Ri?(τ+α?β)dαdβ |
| 功率譜密度 | P i ( f ) P_i(f) Pi?(f) | P o ( f ) = ∣ H ( f ) ∣ 2 P i ( f ) P_o(f)=|H(f)|^2P_i(f) Po?(f)=∣H(f)∣2Pi?(f) |
窄帶: Δ f ? f c \Delta f\ll f_c Δf?fc?, f c ? 0 f_c\gg 0 fc??0; 可視為包絡和相位隨機緩變的正弦波, 即 ξ ( t ) = a ξ ( t ) cos ? [ ω c t + φ ξ ( t ) ] \xi(t)=a_\xi(t)\cos[\omega_c t+\varphi_\xi(t)] ξ(t)=aξ?(t)cos[ωc?t+φξ?(t)], 其中 a ξ ( t ) > 0 a_\xi(t)>0 aξ?(t)>0 為隨機包絡, φ ξ ( t ) \varphi_\xi(t) φξ?(t) 為隨機相位, ω c \omega_c ωc? 為正弦波中心角頻率; 展開后 ξ ( t ) = ξ c ( t ) cos ? ω c t ? ξ s ( t ) sin ? ω c t \xi(t)=\xi_c(t)\cos\omega_c t-\xi_s(t)\sin\omega_c t ξ(t)=ξc?(t)cosωc?t?ξs?(t)sinωc?t, 其中 ξ c ( t ) = a ξ ( t ) cos ? φ ξ ( t ) \xi_c(t)=a_\xi(t)\cos\varphi_\xi(t) ξc?(t)=aξ?(t)cosφξ?(t) 為同向分量, ξ s ( t ) = a ξ ( t ) sin ? φ ξ ( t ) \xi_s(t)=a_\xi(t)\sin\varphi_\xi(t) ξs?(t)=aξ?(t)sinφξ?(t) 為正交分量.
Gauss 平穩時, 同向分量和正交分量也 Gauss 平穩; 同時均值為 0 0 0 時, 同向分量和正交分量獨立同分布且均值為 0 0 0.
包絡一維分布為 Rayleigh 分布 f ( a ξ ) = a ξ σ ξ 2 exp ? { ? a ξ 2 2 σ ξ 2 } ( a ξ ≥ 0 ) f(a_\xi)=\frac{a_\xi}{\sigma_\xi^2}\exp\{-\frac{a_\xi^2}{2\sigma_\xi^2}\}\ (a_\xi\geq 0) f(aξ?)=σξ2?aξ??exp{?2σξ2?aξ2??}?(aξ?≥0), 相位一維分布為均勻分布 f ( φ ξ ) = 1 2 π ( 0 ≤ φ ξ ≤ 2 π ) f(\varphi_\xi)=\frac{1}{2\pi}\ (0\leq\varphi_\xi\leq 2\pi) f(φξ?)=2π1??(0≤φξ?≤2π), 統計獨立.
正弦波加窄帶 Gauss 噪聲: r ( t ) = A cos ? ( ω c t + θ ) + n ( t ) r(t)=A\cos(\omega_c t+\theta)+n(t) r(t)=Acos(ωc?t+θ)+n(t); 類似地 r ( t ) = z c ( t ) cos ? ω c t ? z s ( t ) sin ? ω c t r(t)=z_c(t)\cos\omega_c t-z_s(t)\sin\omega_c t r(t)=zc?(t)cosωc?t?zs?(t)sinωc?t, 其中 z c ( t ) = A cos ? θ + n c ( t ) z_c(t)=A\cos\theta+n_c(t) zc?(t)=Acosθ+nc?(t), z s ( t ) = A sin ? θ + n s ( t ) z_s(t)=A\sin\theta+n_s(t) zs?(t)=Asinθ+ns?(t), 包絡 z ( t ) = z c 2 ( t ) + z s 2 ( t ) z(t)=\sqrt{z_c^2(t)+z_s^2(t)} z(t)=zc2?(t)+zs2?(t)?.
包絡一維分布為廣義 Rayleigh 分布(Rice 分布) f ( z ) = z σ n 2 exp ? { ? 1 2 σ n 2 ( z 2 + A 2 ) } I 0 ( A z σ n 2 ) f(z)=\frac{z}{\sigma_n^2}\exp\{-\frac{1}{2\sigma_n^2}(z^2+A^2)\}I_0(\frac{Az}{\sigma_n^2}) f(z)=σn2?z?exp{?2σn2?1?(z2+A2)}I0?(σn2?Az?); 其中 I 0 ( x ) I_0(x) I0?(x) 為 Bessel 函數, x ≥ 0 x\geq 0 x≥0 時單調遞增且 I 0 ( 0 ) = 1 I_0(0)=1 I0?(0)=1; A → 0 A\to 0 A→0 即信噪比 γ = A 2 2 σ ξ 2 → 0 \gamma=\frac{A^2}{2\sigma_\xi^2}\to 0 γ=2σξ2?A2?→0 時退化為 Rayleigh 分布; 信噪比 γ \gamma γ 較大時近似為 Gauss 分布.
白噪聲: 功率譜密度服從均勻分布; P ξ ( ω ) = n 0 2 P_\xi(\omega)=\frac{n_0}{2} Pξ?(ω)=2n0??, R τ = n 0 2 δ ( t ) R_{\tau}=\frac{n_0}{2}\delta(t) Rτ?=2n0??δ(t), P = R ( 0 ) = ∞ P=R(0)=\infty P=R(0)=∞; 統計獨立, 即僅在 τ = 0 \tau=0 τ=0 時相關.
Gauss 白噪聲: 不同時刻上互不相關且統計獨立.
低通 (lowpass) 白噪聲: P n ( f ) = n 0 2 ( ∣ f ∣ ≤ f H ) P_n(f)=\frac{n_0}{2}\ (|f|\leq f_H) Pn?(f)=2n0???(∣f∣≤fH?); R ( τ ) = n 0 f H S a ( 2 π f H τ ) R(\tau)=n_0f_H{\rm Sa}(2\pi f_H\tau) R(τ)=n0?fH?Sa(2πfH?τ).
帶通 (bandpass) 白噪聲: P n ( f ) = n 0 2 ( f c ? B 2 ≤ ∣ f ∣ ≤ f c + B 2 ) P_n(f)=\frac{n_0}{2}\ (f_c-\frac{B}{2}\leq|f|\leq f_c+\frac{B}{2}) Pn?(f)=2n0???(fc??2B?≤∣f∣≤fc?+2B?); H ( f ) = 1 ( f c ? B 2 ≤ ∣ f ∣ ≤ f c + B 2 ) H(f)=1\ (f_c-\frac{B}{2}\leq|f|\leq f_c+\frac{B}{2}) H(f)=1?(fc??2B?≤∣f∣≤fc?+2B?); R ( τ ) = n 0 B S a ( π B τ ) cos ? 2 π f c τ R(\tau)=n_0B{\rm Sa}(\pi B\tau)\cos 2\pi f_c\tau R(τ)=n0?BSa(πBτ)cos2πfc?τ; 平均功率 N : = P [ n ( t ) ] = n 0 B N:=P[n(t)]=n_0B N:=P[n(t)]=n0?B, 其中 B B B 為噪聲等效帶通.
無線信道: 利用電磁波.
地波: 低頻(2MHz 以下); 繞射.
天波: 高頻(2MHz~30MHz); 電離層反射; 有無法到達的寂靜區.
視線: 超高頻(30MHz 以上); 穿透電離層; h = D 2 8 r ≈ D 2 50 h=\frac{D^2}{8r}\approx\frac{D^2}{50} h=8rD2?≈50D2?.
增加視線傳播距離途徑: 微波中繼; 衛星中繼; 電離層散射; 對流層散射; 流星余跡散射.
接收功率: P R = λ 2 P T G T G R 16 π 2 d 2 P_R=\frac{\lambda^2P_TG_TG_R}{16\pi^2d^2} PR?=16π2d2λ2PT?GT?GR??, 其中 P r P_r Pr? 為發射功率, G T G_T GT? 為發射天線增益, G R G_R GR? 為接收天線增益, d d d 為傳播距離, λ \lambda λ 為波長(m).
傳播損耗: L f r = P T P R = 16 π 2 d 2 λ 2 G T G R L_{fr}=\frac{P_T}{P_R}=\frac{16\pi^2d^2}{\lambda^2G_TG_R} Lfr?=PR?PT??=λ2GT?GR?16π2d2?; 發射功率與接收功率之比.
有線信道: 對稱電纜(雙絞線); 同軸電纜; 光纖.
調制信道: e 0 ( t ) = f [ e i ( t ) ] + n ( t ) e_0(t)=f[e_i(t)]+n(t) e0?(t)=f[ei?(t)]+n(t); 其中 n ( t ) n(t) n(t) 為加性噪聲; f [ e i ( t ) ] = k ( t ) ? e i ( t ) f[e_i(t)]=k(t)*e_i(t) f[ei?(t)]=k(t)?ei?(t), k ( t ) k(t) k(t) 為乘性干擾; H ( ω ) = ∣ H ( ω ) ∣ e φ ( ω ) j H(\omega)=|H(\omega)|e^{\varphi(\omega)j} H(ω)=∣H(ω)∣eφ(ω)j, ∣ H ( ω ) ∣ |H(\omega)| ∣H(ω)∣ 為幅頻特性, φ ( ω ) \varphi(\omega) φ(ω) 為相頻特性.
恒慘信道: 傳輸特性隨時間不變或緩變; 無失真時, ∣ H ( ω ) ∣ = K |H(\omega)|=K ∣H(ω)∣=K 為固定衰減, φ ( ω ) = t d ω \varphi(\omega)=t_d\omega φ(ω)=td?ω 為固定時延, 群時延 τ ( ω ) = d ? ( ω ) d ω = t d \tau(\omega)=\frac{\mathrm{d}\phi(\omega)}{\mathrm{d}\omega}=t_d τ(ω)=dωd?(ω)?=td?; 沖激響應 h ( t ) = K δ ( t ? t d ) h(t)=K\delta(t-t_d) h(t)=Kδ(t?td?).
頻幅失真: 波形失真 → \to → 信噪比 S N = S n 0 B {\rm SN}=\frac{S}{n_0B} SN=n0?BS? 下降, 信道容量減小; 碼間串擾 → \to → 誤碼率增大.
相頻失真: 視頻信號影響大, 語音信號影響小; 碼間串擾 → \to → 誤碼率增大.
隨參信道: 傳輸特性隨時間隨機快變; 衰減隨時間變化, 時延隨時間變化; 多徑傳播(接收合成) → \to → Rayleigh 型衰落(包絡緩變), 頻率彌散, 頻率選擇性衰落.
A cos ? ω 0 t → R ( t ) = X c ( t ) cos ? ω 0 t ? X s ( t ) sin ? ω 0 t = V ( t ) cos ? [ ω 0 t + φ ( t ) ] A\cos\omega_0 t\to R(t)=X_c(t)\cos\omega_0 t-X_s(t)\sin\omega_0 t=V(t)\cos[\omega_0 t+\varphi(t)] Acosω0?t→R(t)=Xc?(t)cosω0?t?Xs?(t)sinω0?t=V(t)cos[ω0?t+φ(t)].
減小選擇性衰落: Δ f = 1 τ m \Delta f=\frac{1}{\tau_m} Δf=τm?1?; 帶寬 B s = ( 1 3 ～ 1 5 ) Δ f B_s=(\frac{1}{3}\sim\frac{1}{5})\Delta f Bs?=(31?～51?)Δf, 即碼元寬度 T s = ( 3 ～ 5 ) τ m T_s=(3\sim 5)\tau_m Ts?=(3～5)τm?.
編碼信道: 二進制無記憶; 轉移概率; P ( 0 / 0 ) = 1 ? P ( 1 / 0 ) P(0/0)=1-P(1/0) P(0/0)=1?P(1/0), P ( 1 / 1 ) = 1 ? P ( 0 / 1 ) P(1/1)=1-P(0/1) P(1/1)=1?P(0/1); P e = P ( 0 ) P ( 1 / 0 ) + P ( 1 ) P ( 0 / 1 ) P_e=P(0)P(1/0)+P(1)P(0/1) Pe?=P(0)P(1/0)+P(1)P(0/1).
信道加性噪聲 n ( t ) n(t) n(t): Gauss 白噪聲; P n ( f ) = n 0 2 P_n(f)=\frac{n_0}{2} Pn?(f)=2n0??, R n ( τ ) = n 0 2 δ ( t ) R_n(\tau)=\frac{n_0}{2}\delta(t) Rn?(τ)=2n0??δ(t), f n ( ν ) = 1 2 π σ n exp ? { ? ν 2 2 σ n 2 } f_n(\nu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_n}\exp\{-\frac{\nu^2}{2\sigma_n^2}\} fn?(ν)=2π?σn?1?exp{?2σn2?ν2?}.
熱噪聲: 電阻性元器件中電子熱運動產生, 起伏噪聲; 均勻分布在 0 ～ 1 0 12 0\sim 10^{12} 0～1012 Hz 范圍; Gauss 白噪聲; 電壓有效值 V = 4 k T R B V=\sqrt{4kTRB} V=4kTRB? (V), 其中 Boltzmann 常數 k = 1.38 × 1 0 ? 23 k=1.38\times 10^{-23} k=1.38×10?23 (J/K).
窄帶 Gauss 噪聲: n ( t ) n(t) n(t) 通過 BPF (帶通濾波器); 等效帶寬 B n = ∫ 0 + ∞ P n ( f ) d f P n ( f 0 ) B_n=\frac{\int_0^{+\infty}P_n(f)\mathrm{d}f}{P_n(f_0)} Bn?=Pn?(f0?)∫0+∞?Pn?(f)df?, 即通過帶寬為 B n B_n Bn? 的矩形濾波器和實際接收濾波器的噪聲功率相等; 平均功率 N = ∫ ? ∞ + ∞ P n ( f ) d f N=\int_{-\infty}^{+\infty}P_n(f)\mathrm{d}f N=∫?∞+∞?Pn?(f)df.
信道容量: 無差錯傳輸時最大平均信息速率.
無噪聲信息熵: H ( x ) = ? ∫ ? ∞ + ∞ p ( x ) log ? 2 p ( x ) d x H(x)=-\int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\log_2 p(x)\mathrm{d}x H(x)=?∫?∞+∞?p(x)log2?p(x)dx.
信道噪聲損失信息熵 (條件熵): H ( x ∣ y ) = ? ∫ ? ∞ + ∞ p ( y ) d y ∫ ? ∞ + ∞ p ( x ∣ y ) log ? 2 p ( x ∣ y ) d x H(x|y)=-\int_{-\infty}^{+\infty}p(y)\mathrm{d}y\int_{-\infty}^{+\infty}p(x|y)\log_2 p(x|y)\mathrm{d}x H(x∣y)=?∫?∞+∞?p(y)dy∫?∞+∞?p(x∣y)log2?p(x∣y)dx.
信息傳輸速率: R = r [ H ( x ) ? H ( x ∣ y ) ] R=r[H(x)-H(x|y)] R=r[H(x)?H(x∣y)] (bps), r r r 為符號速率.
信道容量: C t = max ? R C_t=\max R Ct?=maxR (bps), 即 C = max ? P ( X ) [ H ( x ) ? H ( x ∣ y ) ] C=\max_{P(X)}[H(x)-H(x|y)] C=maxP(X)?[H(x)?H(x∣y)] (b/符號).
Shannon: C = B log ? 2 ( 1 + S N ) C=B\log_2(1+\frac{S}{N}) C=Blog2?(1+NS?) (bps), 其中 S S S 為信號平均功率 (W), B B B 為帶寬 (Hz), N = n 0 B N=n_0B N=n0?B 為噪聲功率, n 0 n_0 n0? 為噪聲單邊功率譜密度, S N \frac{S}{N} NS? 為信噪比; 信噪比與帶寬給定時信息傳輸速率理論極限.
結論: R b ≤ C R_b\leq C Rb?≤C 時總能找到信道編碼方式實現無差錯傳輸; R b > C R_b>C Rb?>C 時則不能實現無差錯傳輸; 增加 S S S 或減小 n 0 n_0 n0? 時可增加 C C C, 特別 S → ∞ S\to\infty S→∞ 或 n 0 → 0 n_0\to 0 n0?→0 時 C → ∞ C\to\infty C→∞; 增加 B B B 時可增加 C C C, 但 B → ∞ B\to\infty B→∞ 時 C → log ? 2 e S n 0 ≈ 1.44 S n 0 C\to\log_2 e\frac{S}{n_0}\approx 1.44\frac{S}{n_0} C→log2?en0?S?≈1.44n0?S?; 給定 C C C 時, S N \frac{S}{N} NS? 和 B B B 反向變動 (可互換).
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