計算機的錯誤計算（一百七十六）

摘要? 利用某一大語言模型計算? $\frac{1}{9^{4.2}}-\sin(\frac{1}{9^{4.2}})$ ?的值，輸出為 0 .

例1.? 在某一大語言模型下，計算 $\frac{1}{9^{4.2}}-\sin(\frac{1}{9^{4.2}})$ ?的值。其中sin中值取弧度。結果保留16位有效數字。?

? ? ? ?直接貼圖吧：

? ? ? ?點評：

? ? ? ?（1）以上為一個大模型給的答案。從其回答可知，它很聰明。實在是像一位高數老師！但是，可惜它調用的 Python 不給力。

? ? ? ?（2）筆者在 Python 3.12.7 下調用上述代碼，輸出為?0.0000000000001579 .? 這樣，有4位正確數字。因為正確結果為?0.1579039995790749e-12（ISRealsoft 提供）。

? ? ? ?（3）還有一點估計大模型說錯了：formatted_result = "{:.16f}".format(result) 中的16估計是保留的小數位數，不是有效位數。

? ? ? ?（4）大模型分析的頭頭是道。但是，它若再進一步，將? $\frac{1}{9^{4.2}}-\sin(\frac{1}{9^{4.2}})$ ?表示成 $\frac{1}{3!}(\frac{1}{9^{4.2}})^3$ 就更好了（因為正弦函數的泰勒展式為 $\sin(x) =x-\frac{1}{3!}x^3+...$ ）。那時，再調用 Python，誤差就會小點。

? ? ? ?（5）即使采用? $\frac{1}{3!}(\frac{1}{9^{4.2}})^3$ ?計算，Python 也會有幾位錯誤數字。因為， $\frac{1}{9^{4.2}}$ ?的16位數字中會出現1位錯誤數字。再深究下去，是因為? ${9^{4.2}}$ ?的精度不夠（可以參看計算機的錯誤計算（三十四）關于冪指數函數的錯數）。

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