原碼、反碼、補碼詳解及其在C語言中的應用

在計算機科學中，整數的表示方式有多種，包括原碼、反碼和補碼。這些表示方式主要用于解決整數的二進制表示和計算問題。本文將詳細介紹這三種表示方法，并通過示例來說明它們的原理和應用，特別是它們在C語言中的應用。

一、原碼（Sign-Magnitude）

1.1 定義與表示

原碼是一種最直接的二進制表示法，其中最高位（最左邊的一位）表示符號位，其他位表示數值大小。

• 符號位：0 表示正數，1 表示負數。
• 數值位：直接使用二進制表示數值大小。

1.2 歷史來源與作用

原碼在早期計算機中被廣泛使用，因為其簡單直觀的表示方式便于理解和實現。然而，由于在處理正負數運算時需要單獨處理符號位，導致計算復雜，逐漸被反碼和補碼取代。

1.3 示例

十進制	原碼表示
5	0000 0101
-5	1000 0101

說明：

• 0000 0101 表示正數 5。
• 1000 0101 表示負數 -5。

1.4 C語言示例

在C語言中，沒有直接操作原碼的方式，但可以通過位操作實現對符號位和數值位的處理。

#include <stdio.h>void printBinary(int num) {for (int i = 7; i >= 0; i--) {printf("%d", (num >> i) & 1);}printf("\n");
}int main() {int num = 5;int neg_num = -5;printf("原碼表示:\n");printf("5 的二進制表示: ");printBinary(num);printf("-5 的二進制表示: ");printBinary((1 << 7) | num);  // 手動構造原碼表示return 0;
}

1.5 代碼運行結果

原碼表示:
5 的二進制表示: 00000101
-5 的二進制表示: 10000101

二、反碼（One’s Complement）

2.1 定義與表示

反碼是將原碼的數值位按位取反（0 變 1，1 變 0）得到的。

• 正數的反碼：與其原碼相同。
• 負數的反碼：將其原碼的數值位取反，符號位不變。

2.2 歷史來源與作用

反碼的引入是為了解決原碼在進行加減運算時的符號位問題。通過按位取反，可以簡化計算機中負數的表示和運算。然而，反碼存在兩個零（正零 0000 0000 和負零 1111 1111），計算不便，最終被補碼取代。

2.3 示例

十進制	原碼表示	反碼表示
5	0000 0101	0000 0101
-5	1000 0101	1111 1010

說明：

• 正數 5 的反碼與其原碼相同。
• 負數 -5 的反碼是 1111 1010，其中 0000 0101 的每個位取反得到 1111 1010。

2.4 C語言示例

在C語言中，可以通過位操作計算反碼。

#include <stdio.h>void printBinary(int num) {for (int i = 7; i >= 0; i--) {printf("%d", (num >> i) & 1);}printf("\n");
}int main() {int num = 5;int neg_num = -5;printf("反碼表示:\n");printf("5 的二進制表示: ");printBinary(num);printf("-5 的反碼表示: ");printBinary(~num);  // 按位取反得到反碼return 0;
}

2.5 代碼運行結果

反碼表示:
5 的二進制表示: 00000101
-5 的反碼表示: 11111010

三、補碼（Two’s Complement）

3.1 定義與表示

補碼是目前計算機系統中廣泛使用的一種二進制表示法，解決了原碼和反碼的缺點。

• 正數的補碼：與其原碼相同。
• 負數的補碼：在其反碼的基礎上加 1。

3.2 歷史來源與作用

補碼的引入是為了統一零的表示（只有一個零 0000 0000）并簡化計算。補碼使得正數和負數的加減運算可以使用同一套電路，避免了符號位單獨處理的問題，極大地提高了計算效率。由于這些優點，補碼成為現代計算機系統中普遍使用的整數表示方法。

3.3 示例

十進制	原碼表示	反碼表示	補碼表示
5	0000 0101	0000 0101	0000 0101
-5	1000 0101	1111 1010	1111 1011

說明：

• 正數 5 的補碼與其原碼相同。
• 負數 -5 的補碼是 1111 1011，在反碼 1111 1010 的基礎上加 1 得到 1111 1011。

3.4 C語言示例

在C語言中，負數的補碼表示可以通過標準的負數表示方式得到。

#include <stdio.h>void printBinary(int num) {for (int i = 7; i >= 0; i--) {printf("%d", (num >> i) & 1);}printf("\n");
}int main() {int num = 5;int neg_num = -5;printf("補碼表示:\n");printf("5 的二進制表示: ");printBinary(num);printf("-5 的補碼表示: ");printBinary(neg_num);return 0;
}

3.5 代碼運行結果

補碼表示:
5 的二進制表示: 00000101
-5 的補碼表示: 11111011

四、原碼、反碼、補碼之間的關系

十進制	原碼	反碼	補碼
5	0000 0101	0000 0101	0000 0101
-5	1000 0101	1111 1010	1111 1011

• 正數：原碼、反碼、補碼相同。
• 負數：反碼是原碼數值位取反，補碼是反碼加 1。

五、總結

表示法	特點	應用
原碼	簡單直觀，計算復雜	較少應用
反碼	解決符號位問題，存在兩個零	較少應用
補碼	統一了零的表示，簡化了計算，適合二進制運算	現代計算機系統廣泛使用

補碼的優點使得它成為現代計算機系統中普遍使用的整數表示方法。了解原碼、反碼和補碼之間的關系和轉換方法，對于理解計算機底層運算和處理負數具有重要意義。在C語言中，理解這些表示方法有助于更好地處理整數運算和位操作。

六、參考文獻

1. Kernighan, B. W., & Ritchie, D. M. (1988). The C Programming Language (2nd ed.). Prentice Hall.
2. Andrew S. Tanenbaum. “Structured Computer Organization.” 6th Edition. Pearson, 2013.
3. ISO/IEC. (2024). ISO/IEC DIS 9899. Programming Languages – C.
4. Donald E. Knuth. “The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms.” 3rd Edition. Addison-Wesley, 1997.

七、結束語

1. 本節內容已經全部介紹完畢，希望通過這篇文章，大家對原碼、反碼、補碼有了更深入的理解和認識。
2. 感謝各位的閱讀和支持，如果覺得這篇文章對你有幫助，請不要吝惜你的點贊和評論，這對我們非常重要。再次感謝大家的關注和支持！