摘要

本文全面回顧了深度學習中激活函數的發展歷程，從早期的Sigmoid和Tanh函數，到廣泛應用的ReLU系列，再到近期提出的Swish、Mish和GeLU等新型激活函數。深入分析了各類激活函數的數學表達、特點優勢、局限性以及在典型模型中的應用情況。通過系統的對比分析，本文探討了激活函數的設計原則、性能評估標準以及未來可能的發展方向，為深度學習模型的優化和設計提供理論指導。

1. 引言

激活函數是神經網絡中的關鍵組件，它在神經元的輸出端引入非線性特性，使得神經網絡能夠學習和表示復雜的非線性映射。沒有激活函數，無論多么深的神經網絡本質上都只能表示線性變換，這大大限制了網絡的表達能力。
隨著深度學習的快速發展，激活函數的設計和選擇已成為影響模型性能的重要因素。不同的激活函數具有不同的特性，如梯度流動性、計算復雜度、非線性程度等，這些特性直接影響著神經網絡的訓練效率、收斂速度和最終性能。
本文旨在全面回顧激活函數的演變歷程，深入分析各類激活函數的特性，并探討其在現代深度學習模型中的應用。我們將從以下幾個方面展開討論：

1. 經典激活函數：包括Sigmoid、Tanh等早期常用的激活函數。
2. ReLU及其變體：包括ReLU、Leaky ReLU、PReLU、ELU等。
3. 新型激活函數：如Swish、Mish、GeLU等近期提出的函數。
4. 特殊用途的激活函數：如Softmax、Maxout等。
5. 激活函數的比較與選擇：討論不同場景下激活函數的選擇策略。
6. 未來展望：探討激活函數研究的可能發展方向。

通過這一系統的回顧和分析，希望能為研究者和實踐者提供一個全面的參考，幫助他們在深度學習模型設計中更好地選擇和使用激活函數。

2. 經典激活函數

2.1 Sigmoid函數

Sigmoid函數是最早被廣泛使用的激活函數之一，其數學表達式為：
$\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{?x}}$

特點與優點：

1. 輸出范圍有界：Sigmoid函數的輸出范圍在(0, 1)之間，這使其特別適合于處理概率問題。
2. 平滑可導：函數在整個定義域內都是平滑且可導的，這有利于梯度下降算法的應用。
3. 解釋性強：輸出可以被解釋為概率，特別適用于二分類問題的輸出層。

缺點與限制：

1. 梯度消失問題：當輸入值很大或很小時，梯度接近于零，這會導致深層網絡中的梯度消失問題。
2. 輸出非零中心：Sigmoid的輸出均為正值，這可能會導致后一層神經元的輸入總是正的，影響模型的收斂速度。
3. 計算復雜度：涉及指數運算，計算復雜度相對較高。

適用場景：

1. 早期的淺層神經網絡。
2. 二分類問題的輸出層。
3. 需要將輸出限制在(0, 1)范圍內的場景。

與其他函數的對比：

相比于后來出現的ReLU等函數，Sigmoid在深度網絡中的應用受到了很大限制，主要是因為其梯度消失問題。然而，在某些特定任務（如二分類）中，Sigmoid仍然是一個有效的選擇。

2.2 Tanh函數

Tanh（雙曲正切）函數可視為Sigmoid函數的改進版本，其數學表達式為：
$\tanh (x)=\frac{e^x?e^{?x}}{e^x+e^{?x}}$

特點與優點：

1. 零中心輸出：Tanh函數的輸出范圍在(-1, 1)之間，解決了Sigmoid的非零中心問題。
2. 梯度更強：在輸入接近零的區域，Tanh函數的梯度比Sigmoid函數更大，有助于加快學習速度。
3. 平滑可導：與Sigmoid類似，Tanh也是平滑且可導的。

缺點與限制：

1. 梯度消失問題：雖然比Sigmoid有所改善，但Tanh在輸入值較大或較小時仍然存在梯度消失的問題。
2. 計算復雜度：與Sigmoid類似，Tanh也涉及指數運算，計算復雜度較高。

適用場景：

1. 在需要零中心化輸出的場景中優于Sigmoid。
2. 在循環神經網絡（RNN）和長短時記憶網絡（LSTM）中經常使用。
3. 在一些歸一化輸出很重要的場景中使用。

改進與對比：

Tanh函數可以看作是Sigmoid函數的改進版本，主要改進在于輸出的零中心化。這一特性使得Tanh在許多情況下比Sigmoid表現更好，特別是在深度網絡中。然而，與后來出現的ReLU等函數相比，Tanh仍然存在梯度消失的問題，在非常深的網絡中可能會影響模型的性能。
Sigmoid和Tanh這兩個經典的激活函數在深度學習早期發揮了重要作用，它們的特性和局限性也推動了后續激活函數的發展。雖然在很多場景下已經被更新的激活函數所替代，但在特定的任務和網絡結構中，它們仍然有其獨特的應用價值。

3. ReLU及其變體

3.1 ReLU (Rectified Linear Unit)

ReLU函數的提出是激活函數發展的一個重要里程碑。其數學表達式簡單：
$\text{ReLU}(x)=\max (0,x)$

特點與優點：

1. 計算簡單：ReLU的計算復雜度遠低于Sigmoid和Tanh，有利于加速網絡訓練。
2. 緩解梯度消失：對于正輸入，ReLU的梯度恒為1，有效緩解了深層網絡中的梯度消失問題。
3. 稀疏激活：ReLU可以使一部分神經元的輸出為0，導致網絡的稀疏表達，這在某些任務中是有益的。
4. 生物學解釋：ReLU的單側抑制特性與生物神經元的行為相似。

缺點與限制：

1. "死亡ReLU"問題：當輸入為負時，梯度為零，可能導致神經元永久失活。
2. 非零中心輸出：ReLU的輸出均為非負值，這可能會影響下一層的學習過程。

適用場景：

1. 深度卷積神經網絡（如ResNet, VGG）中廣泛使用。
2. 適用于大多數前饋神經網絡。

與其他函數的對比：

相比Sigmoid和Tanh，ReLU在深度網絡中表現出顯著優勢，主要體現在訓練速度和緩解梯度消失方面。然而，"死亡ReLU"問題促使研究者們提出了多種改進版本。

3.2 Leaky ReLU

為了解決ReLU的"死亡"問題，Leaky ReLU被提出：
$\text{Leaky ReLU}(x)=\{\begin{array}{ll}x,& \text{if }x>0\\ \alpha x,& \text{if }x\le 0\end{array}$
其中，$\alpha$ 是一個小的正常數，通常取0.01。

特點與優點：

1. 緩解"死亡ReLU"問題：在輸入為負時仍然保留一個小的梯度，避免神經元完全失活。
2. 保留ReLU的優點：在正半軸保持線性，計算簡單，有助于緩解梯度消失。

缺點與限制：

1. 引入超參數：$\alpha$值的選擇需要調優，增加了模型復雜度。
2. 非零中心輸出：與ReLU類似，輸出仍然不是零中心的。

適用場景：

1. 在ReLU表現不佳的場景中作為替代選擇。
2. 在需要保留一些負值信息的任務中使用。

3.3 PReLU (Parametric ReLU)

PReLU是Leaky ReLU的一個變體，其中負半軸的斜率是可學習的參數：
$\text{PReLU}(x)=\{\begin{array}{ll}x,& \text{if }x>0\\ \alpha x,& \text{if }x\le 0\end{array}$
這里的 $\alpha$ 是通過反向傳播學習得到的參數。

特點與優點：

1. 自適應學習：可以根據數據自動學習最適合的負半軸斜率。
2. 性能潛力：在某些任務中，PReLU可以獲得比ReLU和Leaky ReLU更好的性能。

缺點與限制：

1. 增加模型復雜度：引入額外的可學習參數，增加了模型的復雜度。
2. 可能過擬合：在某些情況下，可能導致過擬合，特別是在小數據集上。

適用場景：

1. 大規模數據集上的深度學習任務。
2. 需要自適應激活函數的場景。

3.4 ELU (Exponential Linear Unit)

ELU試圖結合ReLU的優點和負值輸入的處理，其數學表達式為：
$\text{ELU}(x)=$