1.回溯算法的概念

回溯算法顧名思義就是有回溯的算法

回溯算法實際上一個類似枚舉的搜索嘗試過程，主要是在搜索嘗試過程中尋找問題的解，當發現已不滿足求解條件時，就“回溯”返回，嘗試別的路徑。回溯法是一種選優搜索法，按選優條件向前搜索，以達到目標。但當探索到某一步時，發現原先選擇并不優或達不到目標，就退回一步重新選擇，這種走不通就退回再走的技術為回溯法，而滿足回溯條件的某個狀態的點稱為“回溯點”。許多復雜的，規模較大的問題都可以使用回溯法，有“通用解題方法”的美稱。

回溯算法的核心思想是：

1. 問題分解：將原問題分解成若干個規模較小的子問題。
2. 候選解的生成：從根節點開始，逐層生成候選解。
3. 活節點：當前正在擴展的節點稱為活節點。
4. 死節點：當前擴展的節點如果已經確定不能得到問題的解，則該節點稱為死節點。
5. 剪枝：根據問題的限制條件，對已經確定的死節點進行剪枝。

2.回溯算法解空間樹的問題

?典型案例：

集合求冪集的解空間樹

意思就是一個集合s所有的子集的集合

問題：求集合S={1,2,3}的所有子集，依次選擇每個元素的過程就是一棵樹，如圖所示

在樹中，由從根節點到葉子結點的每條路徑上的權值組成三元組（0,0,0）~（1,1,1）都是解，如（0,0,1）表示子集{B，C},共=8個解；因此，該樹被稱為解空間樹，高度為4。

為什么幫助理解，我們先看普通的遞歸方法是什么實現的

下面是迭代方法代碼實現：

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;public class PowerSet {public static void main(String[] args) {List<String> originalSet =new ArrayList<>();originalSet.add("A");originalSet.add("B");originalSet.add("C");//這里又嵌套了一個list是為了使每一個元素都變成list//適用于多種算法和數據處理任務List<List<String>> powerSet =getPowerSet(originalSet);for (List<String> subset:powerSet){System.out.println(subset);}}private static List<List<String>> getPowerSet(List<String> originalSet) {List<List<String>> powerSet =new ArrayList<>();if (originalSet==null||originalSet.isEmpty()){return powerSet;}//添加空集powerSet.add(new ArrayList<>());for (String element:originalSet){int size =powerSet.size();for (int i =0;i<size;i++){List<String> subset =new ArrayList<>(powerSet.get(i));subset.add(element);powerSet.add(subset);}}return powerSet;}

現在讓我們來分析一下這個過程：

假設第一次迭代中，我們處理元素“A”：

• 初始時，powerSet只包含一個空集[ ]。
• 我們復制這個空集，然后添加“A”,得到["A"]。
• 將["A"]添加到powerSet，現在powerSet是[ ]，["A"]。

在二次迭代中處理“B”：

• 現在powerSet有兩個子集：[ ]和["A"]。
• 我們首先復制空集，然后添加“B”,得到["B"]。
• 然后復制[“A”],然后添加“B”,得到["A","B"]。
• 然后將這兩個新的子集添加到powerSet，現在powerSet有[ ],["A"],["B"],["A","B"]

然后三次迭代重復這個過程就可以了。

下面是回溯方法的代碼：

public class PowerSetWithBacktracking {public static void main(String[] args) {List<String> originalSet = new ArrayList<>();originalSet.add("A");originalSet.add("B");originalSet.add("C");List<List<String>> powerSet = new ArrayList<>();backtrack(0, originalSet, new ArrayList<>(), powerSet);for (List<String> subset : powerSet) {System.out.println(subset);}}private static void backtrack(int start, List<String> originalSet, List<String> currentSubset, List<List<String>> powerSet) {//將當前子集的副本添加到冪集powerSet中，這里使用new ArrayList<>()來復制當前的子集。powerSet.add(new ArrayList<>(currentSubset));//遍歷集合中的每個元素，從start開始for (int i =start;i<originalSet.size();i++){//做出選擇：包含當前元素currentSubset.add(originalSet.get(i));//遞歸調用：移動到下一個元素backtrack(i+1,originalSet,currentSubset,powerSet);//撤銷選擇：回溯currentSubset.remove(currentSubset.size()-1);}
}
}

分析過程：

步驟	start	currentSubset	powerSet
第一次	0	[ ]	[[ ]]
第二次	0	["a"]	[[ ]]
第三次	1	["a","b"]	[[ ]]
第四次	2	["a","b","c"]	[[ ]]
第五次	3	["a","b","c"]	[[" "],["a","b","c"],["a","b"],["a"]]
第六次	2	["a","b"]	[[" "],["a","b","c"],["a","b"],["a"]]
第七次	1	["a"]	[[" "],["a","b","c"],["a","b"],["a"]]
第八次	2	["a","c"]	[[" "],["a","b","c"],["a","b"],["a"]]
第九次	2	["a","c"]	[[" "],["a","b","c"],["a","b"],["a"],["a","c"]]
第十次	1	["a"]	[[" "],["a","b","c"],["a","b"],["a"],["a","c"]]
第十一次	1	[ ]	[[" "],["a","b","c"],["a","b"],["a"],["a","c"]]
第十二次	1	["b"]	[[" "],["a","b","c"],["a","b"],["a"],["a","c"],["b"]]

?接下來依次推導就行了。整體的思路就是不斷遞歸下一個元素，然后從currentSubset中移除最后添加的元素，進行回溯，準備處理下一個元素。

3.八皇后問題

八皇后問題是一個以國際象棋為背景的問題：如何能夠在8×8的國際象棋棋盤上放置八個皇后，使得任何一個皇后都無法直接吃掉其他的皇后？為了達到此目的，任兩個皇后都不能處于同一條橫行、縱行或斜線上嗎，問有多少種擺法。八皇后問題可以推廣為更一般的n皇后擺放問題：這時棋盤的大小變為n×n，而皇后個數也變成n。當且僅當n?= 1或n?≥ 4時問題有解

public class EightQueens {private static final int n =8;private static int[] queens;//存儲皇后的位置private static int count =0;//解的計數public static void main(String[] args){queens=new int[n];for (int i =0;i<n;i++){queens[i]=-1;//初始化都為-1，表示都沒有放皇后}placeQueens(0);//從第0行開始放置皇后System.out.println("");}private static void placeQueens(int row) {if (row==n){count++;printBoard();return;}for (int col =0;col<n;col++){if (isSafe(row,col)){queens[row]=col;//在當前位置放置皇后placeQueens((row+1));//進入下一行queens[row]=-1;//回溯，撤銷當前行的皇后放置的位置}}}private static boolean isSafe(int row, int col) {//檢查列是否有沖突for (int i =0;i<row;i++ ){if (queens[i]==col){return false;}}//檢查左上對角線是否有沖突for (int i =row-1,j=col+1;i>=0&&j>=0;i--,j--){if (queens[i]==j){return false;}}//檢查右下對角線是否有沖突for (int i =row-1,j=col+1;i>=0&&j<n;i--,j++){if (queens[i]==j){return false;}}return true;}private static void printBoard() {System.out.println("第"+count+"種解法");for(int i =0;i<n;i++){for (int j=0;j<n;j++){if (queens[i]==j){System.out.println("Q");}else{System.out.println(". ");}}System.out.println();}System.out.println();}
}

過程分析：

回溯發生在兩種情況下：

1. 當前行是最后一行（row==n-1），并且已經嘗試了所有可能的列，并且已經找到了一個解決方案，遞歸將終止，開始回溯
2. 在遞歸過程中，當前行不是最后一行，但在下一行無法找到任何安全位置放置皇后。

?4.騎士游歷問題

騎士游歷問題是指，在國際象棋的棋盤（8行*8列）上，一個馬要遍歷棋盤，即走到棋盤上的每一格，并且每隔只到達一次。 設碼在棋盤的某一位置（x,y）上，按照“走馬日”的規則，下一步有8個方向走，如圖所示。 若給定起始位置（x0,y0）,使用站和隊列探索出一條馬遍歷棋盤的路徑。

?算法步驟：

• 定義棋盤大小和騎士的可能移動的方式。
• 創建一個二維數組來表示棋盤，初始值設為-1表示未訪問。
• ?編寫一個輔助函數來檢查當前位置是否合法。
• 編寫一個遞歸函數來嘗試所有可能的移動，使用回溯法來尋找解。
• 在主函數中調用遞歸函數，并從指定的起始點開始。

public class KnightTour{private static final int N =8;private static final int[][] moves={{2,1},{1,2},{-1,2},{-2,1},{-2,-1},{-1,-2},{1,-2},{2,-1}};public static void main(String[] args) {int[][] board =new int[N][N];for (int i =0;i<N;i++){for (int j =0;j<N;j++){board[i][j]=-1;}}//起始點int x =0,y =0;board[x][y]=0;if (!solveKTUtil(board,x,y,1)){System.out.println("此解決方案不存在");}else{printSolution(board);}}private static boolean solveKTUtil(int[][] board, int x, int y, int moveCount) {if (moveCount==N*N){return true;}for (int i =0;i<8;i++){int nextX =x+moves[i][0];int nextY =y+moves[i][1];if (isSafe(board,nextX,nextY)){board[nextX][nextY]=moveCount;if (solveKTUtil(board,nextX,nextY,moveCount+1)){return true;}else{board[nextX][nextY]=-1;//回溯}}}return false;}private static boolean isSafe(int[][] board, int X, int Y) {return X>=0&&Y>=0&&X<N&&Y<N&&board[X][Y]==-1;}private static void printSolution(int[][] board){for (int i =0;i<N;i++){for(int j =0;j<N;j++){System.out.print(board[i][j]+" ");}System.out.println();}}
}