線性近似

我們已經看到，在切點附近，曲線與其切線非常接近。事實上，通過放大可微函數圖上的某一點，我們注意到圖形看起來越來越像它的切線（見圖）。這一觀察是找到函數近似值的方法的基礎。

這個想法是，計算函數 $f(a)$ 的值可能很容易，但計算 $f$ 的附近值卻很困難（甚至不可能）。因此，我們使用易于計算的線性函數 $L$，其圖像是 $f$ 在 $(a,f(a))$ 處的切線（見圖）。

換句話說，我們使用 $(a,f(a))$ 處的切線來近似曲線 $y=f(x)$ 當 $x$ 接近 $a$ 時。這個切線的方程是：

$$y=f(a)+f^{\prime }(a)(x?a)$$

這個近似

$$f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x?a)$$

稱為 $f$ 在 $a$ 處的線性近似或切線近似。其圖像是這條切線的線性函數，即

$$L(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x?a)$$

稱為 $f$ 在 $a$ 處的線性化。

示例1：找到在 $a=1$ 處函數 $f(x)=\sqrt{x+3}$ 的線性函數，并使用它來近似數值 $\sqrt{3.98}$ 和 $\sqrt{4.05}$。這些近似是高估還是低估了真實值？

解答

1. 函數 (f(x) = \sqrt{x + 3}) 的導數：

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}(x+3{)}^{?1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x+3}}$$

2. 在 $a=1$ 處的函數值和導數值：$f(1)=2$, $f^{\prime }(1)=\frac{1}{4}$

3. 線性化公式：

$$L(x)=f(1)+f^{\prime }(1)(x?1)=2+\frac{1}{4}(x?1)=\frac{7}{4}+\frac{x}{4}$$

4. 對應的線性近似：

$$\sqrt{x+3}\approx \frac{7}{4}+\frac{x}{4}\text{(當?x?接近?1?時)}$$

5. 特別地，對于 (\sqrt{3.98}) 和 (\sqrt{4.05}) 的近似：

$$\sqrt{3.98}\approx \frac{7}{4}+\frac{0.98}{4}=1.995$$

$$\sqrt{4.05}\approx \frac{7}{4}+\frac{1.05}{4}=2.0125$$

6. 如圖所示
   
   

示例2：對于哪些 $x$ 值，線性近似 $\sqrt{x+3}\approx \frac{7}{4}+\frac{x}{4}$ 在$0.5$的精度范圍內是準確的？在$0.1$的精度范圍內呢？

解答

在$0.5$的精度范圍內準確意味著函數的差異應小于$0.5$：

$$\left|\sqrt{x+3}?\left(\frac{7}{4}+\frac{x}{4}\right)\right|<0.5$$

等價地，我們可以寫成：

$$\sqrt{x+3}?0.5<\frac{7}{4}+\frac{x}{4}<\sqrt{x+3}+0.5$$

這意味著線性近似應該位于通過將曲線 $y=\sqrt{x+3}$ 上下移動$0.5$單位得到的曲線之間。圖中顯示了切線 $y=\frac{7+x}{4}$ 與上曲線 $y=\sqrt{x+3}+0.5$ 在點 $P$ 和 $Q$ 的交點。通過放大和使用光標，我們估計 $P$ 的 $x$ 坐標約為 -2.66，$Q$ 的 $x$ 坐標約為 $8.66$。因此，我們從圖中可以看到，當 $?2.66<x<8.6$ 時，近似

$$\sqrt{x+3}\approx \frac{7}{4}+\frac{x}{4}$$

在0.5的精度范圍內是準確的。（為了安全起見，我們將-2.66向上取整，將8.66向下取整。）

類似地，從圖中我們可以看到，當 $?1.1<x<3.9$ 時，近似在0.1的精度范圍內是準確的。

微分

線性近似背后的思想有時用微分的術語和符號來表述。如果 $y=f(x)$，其中 $f$ 是一個可微函數，那么微分 $dx$ 是一個獨立變量；即 $dx$ 可以賦予任意實數值。微分 $dy$ 通過下面的公式定義為

$$dy=f^{\prime }(x)dx$$

所以 $dy$ 是一個依賴變量；它取決于 $x$ 和 $dx$ 的值。如果 $dx$ 被賦予一個特定的值，并且 $x$ 被取為函數 $f$ 定義域內的某個特定數，那么 $dy$ 的數值就被確定了。

微分的幾何意義如圖所示。令 $P(x,f(x))$ 和 $Q(x+\Delta x,f(x+\Delta x))$ 為函數 $f$ 圖上的點，并令 $dx=\Delta x$。相應的 $y$ 的變化是

$$\Delta y=f(x+\Delta x)?f(x)$$

切線 $PR$ 的斜率是導數 $f^{\prime }(x)$。因此，從 $S$ 到 $R$ 的有向距離是 $f^{\prime }(x)dx=dy$。因此，當 $x$ 變化 $dx$ 時，$dy$ 表示切線升高或降低的量（線性化中的變化量），而 $\Delta y$ 表示當 $x$ 變化 $dx=\Delta x$ 時，曲線 $y=f(x)$ 升高或降低的量。

示例3：比較 $\Delta y$ 和 $dy$ 的值，如果 $y=f(x)=x^3+x^2?2x+1$ 且 $x$ 從 2 變為 2.05 和 (b) 從 2 變為 2.01。

解答

(a) 我們有

$$\begin{array}{rl}f(2)& =2^3+2^2?2(2)+1=9\\ f(2.05)& =(2.05{)}^3+(2.05{)}^2?2(2.05)+1=9.717625\\ \Delta y& =f(2.05)?f(2)=0.717625\end{array}$$

一般來說，$dy=f^{\prime }(x)dx=(3x^2+2x?2)dx$

當 $x=2$ 且 $dx=\Delta x=0.05$ 時，變為

$$dy=[3(2{)}^2+2(2)?2]0.05=0.7$$

(b)
$$\begin{array}{rl}f(2.01)& =(2.01{)}^3+(2.01{)}^2?2(2.01)+1=9.140701\\ \Delta y& =f(2.01)?f(2)=0.140701\end{array}$$

當 $dx=\Delta x=0.01$ 時，

$$dy=[3(2{)}^2+2(2)?2]0.01=0.14$$

注意到在示例3中，隨著 $\Delta x$ 變小，近似 $\Delta y\approx dy$ 變得更好。還要注意到計算 $dy$ 比計算 $\Delta y$ 更容易。對于更復雜的函數，可能無法精確計算 $\Delta y$。在這種情況下，通過微分進行近似特別有用。

在微分的符號中，線性近似可以寫成

$$f(a+dx)\approx f(a)+dy$$

例如，對于示例1中的函數 $f(x)=\sqrt{x+3}$，我們有

$$dy=f^{\prime }(x)dx=\frac{dx}{2\sqrt{x+3}}$$

如果 $a=1$ 并且 $dx=\Delta x=0.05$，那么

$$dy=\frac{0.05}{2\sqrt{1+3}}=0.0125$$

并且

$$\sqrt{4.05}=f(1.05)\approx f(1)+dy=2.0125$$

正如我們在示例1中找到的那樣。

我們最后一個示例說明了在估計因近似測量而產生的誤差時使用微分的方法。

示例4：測量得一個球的半徑為21厘米，測量誤差最多為0.05厘米。使用這個半徑值計算球體積時，最大誤差是多少？

解答

如果球的半徑是 $r$，則其體積為 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$。如果測量值 $r$ 的誤差記為 $dr=\Delta r$，則計算值 $V$ 的相應誤差 $\Delta V$ 可以用微分來近似表示：

$$dV=4\pi r^{2}dr$$

當 $r=21$ 且 $dr=0.05$ 時，

$$dV=4\pi (21{)}^2?0.05\approx 277$$

計算的體積的最大誤差約為 277 立方厘米。

注意

雖然示例4中的可能誤差看起來相當大，但更好的誤差描述是相對誤差，它是通過將誤差除以總體積計算的：

$$\frac{\Delta V}{V}\approx \frac{dV}{V}=\frac{4\pi r^{2}dr}{\frac{4}{3}\pi r^3}=3\frac{dr}{r}$$

因此，體積的相對誤差大約是半徑相對誤差的三倍。在示例4中，半徑的相對誤差大約是 $dr/r=0.05/21\approx 0.0024$，并且它在體積中產生大約 0.007 的相對誤差。誤差也可以表示為百分比誤差，半徑的百分比誤差為 0.24%，體積的百分比誤差為 0.7%。

練習

1.使用線性近似進行估算。
(a) $\tan 2^{°}$
(b) $\cos 29^{°}$

2.測量得一個球的周長為84厘米，測量誤差可能為0.5厘米。

(a) 使用微分估算計算的表面積的最大誤差。相對誤差是多少？

(b) 使用微分估算計算的體積的最大誤差。相對誤差是多少？

3.使用微分估算需要涂多少油漆才能給一個直徑為50米的半球形圓頂涂上一層0.05厘米厚的油漆。

4.已知一個直角三角形的一條邊長為20厘米，對應的角度測量為30°，測量誤差可能為±1°。

(a) 使用微分估算計算斜邊長度的誤差。

(b) 誤差的百分比是多少？

實驗

切線近似 $L(x)$ 是 $f(x)$ 在 $x=a$ 附近的最佳一階（線性）近似，因為 $f(x)$ 和 $L(x)$ 在 (a) 處具有相同的變化率（導數）。為了獲得比線性更好的近似，讓我們嘗試二階（拋物線）近似 $P(x)$。換句話說，我們用拋物線而不是直線來近似曲線。為了確保近似是好的，我們規定以下條件：

(i) $P(a)=f(a)$ （$P$ 和 $f$ 在 $a$ 處應該具有相同的值。）

(ii) $P^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)$ （$P$ 和 $f$ 在 $a$ 處應該具有相同的變化率。）

(iii) $P^{\prime \prime }(a)=f^{\prime \prime }(a)$ （$P$ 和 $f$ 在 $a$ 處的斜率應該以相同的速率變化。）

1. 找到滿足條件(i)、(ii)和(iii)且 $a=0$ 的函數 $f(x)=\cos x$ 的二階近似 $P(x)=A+Bx+C{x}^2$。在同一屏幕上繪制 $P$、$f$ 和線性近似 $L(x)=1$ 的圖像。評論 $P$ 和 $L$ 對 $f$ 的近似程度如何。

2. 確定 $x$ 的值，使得問題1中的二階近似 $f(x)\approx P(x)$ 在0.1的精度內。[提示：繪制 $y=P(x)$, $y=\cos x?0.1$ 和 $y=\cos x+0.1$ 在同一屏幕上。]

3. 為了在接近某個數 $a$ 的地方用二階函數 $P$ 來近似函數 $f$，最好將 $P$ 寫成以下形式
   $$P(x)=A+B(x?a)+C(x?a{)}^2$$
   證明滿足條件(i)、(ii)和(iii)的二階函數是
   $$P(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x?a)+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(a)(x?a{)}^2$$

4. 找到接近 $a=1$ 處的函數 $f(x)=\sqrt{x+3}$ 的二階近似。將 $f$、二階近似以及示例中的線性近似繪制在同一屏幕上。你的結論是什么？

5. 讓我們不滿足于線性或二階近似，而是嘗試用高階多項式來找到更好的近似。我們尋找 $n$ 階多項式
   $$T_n(x)=c_0+c_1(x?a)+c_2(x?a{)}^2+c_3(x?a{)}^3+?+c_n(x?a{)}^n$$