一個半徑為 $R$、轉動慣量為 $I$ 的圓盤。繩子與圓盤無滑動，質量 $m_2$ 的物體在重力 $g$ 作用下下墜，帶動質量 $m_1$ 的物體上升。求$m_1$和$m_2$ 的加速度 $a$。

牛頓力學方法

1. 對質量 $m_1$ 和 $m_2$ 應用牛頓第二定律：

   對于質量$m_1$ ：
   $$T_1?m_{1}g=m_{1}a$$

   對于質量$m_2$：
   $$m_{2}g?T_2=m_{2}a$$

2. 對圓盤應用轉動動力學方程（兩邊不同張力$T$下產生轉動）：

   $$T_{2}R?T_{1}R=I\frac{a}{R}$$

3. 解方程組：

   $$a=\frac{(m_2?m_1)g}{m_1+m_2+\frac{I}{R^2}}$$

拉格朗日力學方法

1. 構建拉格朗日量：

   $$L=T?V=\frac{1}{2}\left(m_1+m_2+\frac{I}{R^2}\right){\dot{y}}_1^2+(m_2?m_1)g{y}_1$$

2. 應用拉格朗日方程：

   $$\frac{d}{dt}\left(\frac{?L}{?{\dot{y}}_1}\right)?\frac{?L}{?y_1}=0$$

3. 解方程：

   $$a=\frac{(m_2?m_1)g}{m_1+m_2+\frac{I}{R^2}}$$

參考：
牛頓力學與拉格朗日力學-萬門大學公開課