1、引言

小屌絲：魚哥，能不能講一講數學知識點啊。
小魚：這，跟著每一章內容學習就好了
小屌絲：覺得麻煩，你就給總結一下唄。
小魚：.額… 這真是不拿我當外人啊。
小屌絲：自家人，何必見外。
小魚：…

2、數據科學必會數學知識

2.1 線性代數

• 定義：研究向量、矩陣及其操作的數學分支。
• 核心原理：向量與矩陣乘法、線性變換、特征值和特征向量等。
• 用法：數據表示、矩陣分解、降維。
• 算法公式：矩陣-向量乘法 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$
• 代碼示例：

import numpy as np
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
x = np.array([1, 2])
b = np.dot(A, x)

2.2 微積分

• 定義：研究變化率（微分）和累積量（積分）的數學分支。
• 核心原理：導數、積分、梯度、鏈式法則。
• 用法：優化算法（如梯度下降）、曲線擬合。
• 算法公式：梯度 $?f(x)$
• 代碼示例：

import sympy as sp
x = sp.Symbol('x')
f = x**2
f_prime = sp.diff(f, x)

2.3 概率論

• 定義：研究隨機事件發生概率及其分布規律的數學分支。
• 核心原理：概率空間、條件概率、貝葉斯定理。
• 用法：機器學習模型中的概率估計、潛在變量模型。
• 算法公式：貝葉斯公式 $P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$
• 代碼示例：

from scipy.stats import normp = norm.pdf(0)  # 標準正態分布在0點處的概率密度值

2.4 數理統計

• 定義：利用概率分布對數據進行推斷和驗證的數學分支。
• 核心原理：假設檢驗、置信區間、最大似然估計（MLE）。
• 用法：統計模型的參數估計、驗證模型。
• 算法公式：t-檢驗公式 $t=\frac{\bar{x}?{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}$
• 代碼示例：

from scipy import stats
t_stat, p_value = stats.ttest_1samp([1, 2, 3, 4, 5], 3)

2.5 隨機過程

• 定義：研究隨時間或空間隨機變量變化的數學模型。
• 核心原理：馬爾可夫鏈、泊松過程、隨機游走。
• 用法：時間序列分析、金融建模。
• 算法公式：馬爾可夫鏈狀態轉移概率 $P(X_{n+1}=j|X_n=i)$
• 代碼示例：

import numpy as np
# 簡單的馬爾可夫鏈模擬
transition_matrix = np.array([[0.5, 0.5], [0.2, 0.8]])
initial_state = np.array([0.8, 0.2])
next_state = np.dot(initial_state, transition_matrix)

2.6 數據分布

• 定義：研究數據如何在數值范圍內分布的數學特征。
• 核心原理：正態分布、泊松分布、指數分布等。
• 用法：數據建模、異常檢測。
• 算法公式： 正態分布概率密度函數 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{?\frac{(x?\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$
• 代碼示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
mean, std_dev = 0, 1
samples = np.random.normal(mean, std_dev, 1000)
plt.hist(samples, bins=30, density=True)
plt.show()

2.7 貝葉斯統計

• 定義：一種基于貝葉斯定理的統計推斷方法。
• 核心原理：先驗分布、后驗分布、貝葉斯更新。
• 用法：貝葉斯網絡、貝葉斯優化。
• 算法公式：后驗概率 $P(\theta |X)=\frac{P(X|\theta )P(\theta )}{P(X)}$
• 代碼示例：

import pymc3 as pm
# 使用PyMC3進行貝葉斯推斷
with pm.Model() as model:theta = pm.Uniform('theta', lower=0, upper=1)y = pm.Bernoulli('y', p=theta, observed=[1, 0, 0, 1, 1])trace = pm.sample(1000, step=pm.Metropolis())
pm.traceplot(trace)

2.8 線性回歸

• 定義：用線性模型描述自變量和因變量關系的統計方法。

• 核心原理：最小二乘法、回歸系數估計。

• 用法：趨勢預測、關系探索。

• 算法公式： $y={\beta }_0+{\beta }_{1}x+\epsilon$

• 代碼示例：

from sklearn.linear_model import LinearRegressionX = [[1], [2], [3], [4]]
y = [2, 3, 5, 7]
model = LinearRegression().fit(X, y)

2.9 邏輯回歸

• 定義：用于分類問題的回歸模型。
• 核心原理：邏輯函數映射概率、最大似然估計。
• 用法：二元分類、多分類。
• 算法公式：$P(y=1|x)=\frac{1}{1+e^{?({\beta }_0+{\beta }_{1}x)}}$
• 代碼示例：

from sklearn.linear_model import LogisticRegressionX = [[0], [1], [2], [3]]
y = [0, 0, 1, 1]
model = LogisticRegression().fit(X, y)

2.10 矩陣分解

• 定義：將矩陣分解成多個矩陣乘積的技術。
• 核心原理：特征分解、奇異值分解（SVD）。
• 用法：降維、推薦系統。
• 算法公式： $A=U\Sigma V^T$
• 代碼示例：

import numpy as npA = np.array([[3, 1], [1, 3]])
U, Sigma, Vt = np.linalg.svd(A)

2.11 主成分分析（PCA）

• 定義：一種降維技術，通過線性變換將數據投影到較低維度空間。
• 核心原理：協方差矩陣、特征值和特征向量。
• 用法：降維、數據壓縮。
• 算法公式： $\mathbf{Z}=\mathbf{XW}$
• 代碼示例：

from sklearn.decomposition import PCAX = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]
pca = PCA(n_components=1)
principal_components = pca.fit_transform(X)

2.12 奇異值分解（SVD）

• 定義：一種矩陣分解方法，將矩陣分解為三個子矩陣的乘積。
• 核心原理：特征分解、秩、范數。
• 用法：降維、信號處理。
• 算法公式： $A=U\Sigma V^T$
• 代碼示例：

import numpy as npA = np.array([[3, 1], [1, 3]])
U, Sigma, Vt = np.linalg.svd(A)

3、總結

由于臨時任務，今天的內容就先寫到這里了。
關于另一部分數學知識點，小魚會在這篇體現哦

• 《【機器學習】必會數學知識：一文掌握數據科學核心數學知識點(上)，收藏~》

• 《【機器學習】必會數學知識：一文掌握數據科學核心數學知識點(下)，收藏~》
  我是小魚：

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