第241題｜確定極限中參數問題 | 武忠祥老師每日一題

解題思路：確定極限中的參數的方法是求這個極限；求極限根據類型選方法。

? $\frac{0}{0}$ ?形可以用到三種方法：洛必達，等價，泰勒。

先觀察題目，將 $xe^{x}$ 看成一個整體，同時 $e^{-\frac{x^{2}e^{2x}}{2}}=$ $e^{-\frac{(xe^{x})^{2}}{2}}$ ,并令 $xe^{x}=t$ ,整理之后如下：

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cost-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{x^{a}}$

這里 $x^{a}$ 也要想辦法弄成 $xe^{x}$ 的形式，例如 $(xe^{x})^{a}$ ,在x趨于0的情況下， $(xe^{x})^{a}=x^{a}$ ,所以最終可以代換成這樣：
$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{cost-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{t^{a}}$

判斷類型，這同樣是一個? $\frac{0}{0}$ ?形，在這里有兩種方法來解決：

一：洛必達

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{cost-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{t^{a}}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{-sint+e^{-\frac{t^{2}}{2}}t}{at^{a-1}}$ ,寫到這一步，有人可能想到在加減法中使用等價無窮小，把-sint?換成-t來做，但是這個結論是有條件的：代換之后的數不能等價：

而這里 $\lim_{}\frac{-t}{te^{-\frac{t^{2}}{2}}}=-1$ 是等價的，所以這里不能同價代換。接著洛必達也很麻煩，那接下來怎么做呢？

我們說：有條件要上，沒有條件創造條件也要上。這里使用+t -t來構建式子。

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{-sint+e^{-\frac{t^{2}}{2}}t}{at^{a-1}}=$ $\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t-sint+e^{-\frac{t^{2}}{2}}t-t}{at^{a-1}}$ $=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t-sint+(e^{-\frac{t^{2}}{2}}-1)t}{at^{a-1}}$ ,

分子使用泰勒展開:

$t-sint=\frac{1}{6}t^{3}$ ? ? ? ? ? ? ?? $e^{-\frac{t^{2}}{2}}-1=-\frac{t^{2}}{2}$ ;

整理得：

,分子兩項顯然不等價，可以代換。

要想極限存在，a-1=3，a=4，答案得解。

二：泰勒公式

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{cost-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{t^{a}}$ $=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1-\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{4}}{4!}-(1-\frac{t^{2}}{2}+\frac{\frac{t^{4}}{4}}{2})+o(t^{4})}{t^{a}}$ $=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\frac{t^{4}}{4!}-\frac{t^{4}}{8}+o(t^{4})}{t^{a}}$ $=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\frac{t^{4}}{12}+o(t^{4})}{t^{a}}$

a=4;

前面兩種是直接法，我們知道選擇題還有一種方法是排除法。

三：排除法

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{cost-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{t^{a}}$ ，分子是偶函數，偶函數在0點的泰勒展開式是偶次項，不可能是奇數項。因為分母要除以一個a次項，所以a只能是偶數，排除B和D。

A選項比較好計算，先看a對不對。將a=2帶入到式子中去。

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{cost-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{t^{2}}$

$=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{cost-1+1-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{t^{2}}$

$=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{cost-1}{t^{2}}$ $+\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{t^{2}}$ （注意：這里要拆開不能直接無窮小替換，因為兩個替換后的值相除極限為-1，是等價的，為什么前面不用-1+1來做，是因為這里分母的次數是2是確定的，拆開后極限依然存在，所以要拆開。）

$=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$

$=0$

而題目說的是極限不為0，所以A是錯的，答案選C

總結知識點：

1.選擇題一般是兩種方法：一.直接法。二.排除法

2.該題的類型是：確定極限中的參數。

解題方法是求這個極限---求極限要根據類型選方法：

? $\frac{0}{0}$ ?形求極限可以用到三種方法：洛必達，等價，泰勒。

3.本題使用的泰勒公式：

$sinx = 1-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})$

$cosx=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4}+o(x^{4})$

$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3})$

4.常見式子：

$x-sinx=\frac{x^{3}}{6}$

$cosx -1 =-\frac{x^{2}}{2}$

$e^{x}-1=x$

5.常見構建方式：+1-1。+x-x。

6.等價無窮小替換規則：

7.偶函數在0點處的泰勒展開式一定是偶次項。

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