Mercer 條件 是核函數理論中的一個重要概念，它確保了一個給定的對稱函數可以表示為某個高維特征空間中的內積。這個條件在支持向量機（SVM）和其他基于核方法的機器學習算法中非常重要。

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基本介紹

Mercer 條件的定義

設 $K(x,y)$ 是一個定義在 $\mathcal{X}\times \mathcal{X}$ 上的對稱函數，其中 $\mathcal{X}$ 是一個緊致的度量空間。Mercer 條件要求 $K(x,y)$ 滿足以下性質：

對于任意有限輸入集 { x 1 , x 2 , … , x n } ? X \{x_1, x_2, \ldots, x_n\} \subset \mathcal{X} {x1?,x2?,…,xn?}?X 和任意實值函數 $f$，有：

$$?K(x,y)f(x)f(y)dxdy\ge 0$$

這意味著 $K(x,y)$ 是一個半正定函數。

Mercer 定理

根據 Mercer 定理，如果 $K(x,y)$ 滿足 Mercer 條件，那么它可以表示為某個特征映射 $?$ 的內積，即：

$$K(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\lambda }_i{?}_i(x){?}_i(y)$$

其中，${\lambda }_i$ 是非負的特征值，${?}_i$ 是對應的特征函數。這些特征函數構成了一個正交基，可以用來表示高維特征空間中的數據。

實際應用

在實際應用中，Mercer 條件確保了可以使用核函數 $K(x,y)$ 來隱式地計算高維空間中的內積，而無需顯式地計算特征向量 $?(x)$ 和 $?(y)$。這使得可以在低維空間中進行高效的計算，同時利用高維空間的特性來處理復雜的非線性問題。

常見的滿足 Mercer 條件的核函數包括：

1. 線性核函數：$K(x,y)=?x,y?$
2. 多項式核函數：$K(x,y)=(?x,y?+c{)}^d$
3. 高斯徑向基函數（RBF）核函數：$K(x,y)=\exp \left(?\frac{\Vert x?y{\Vert }^2}{2{\sigma }^2}\right)$
4. Sigmoid核函數：$K(x,y)=\tanh (\alpha ?x,y?+c)$

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證明

Mercer 條件的證明 涉及到泛函分析和積分方程理論, 依賴于對稱核函數的性質和緊致度量空間上的積分方程理論。

1. 對稱核函數的定義

設 $K(x,y)$ 是一個定義在緊致度量空間 $\mathcal{X}$ 上的對稱函數，即 $K(x,y)=K(y,x)$。

2. 半正定性

Mercer 條件要求 $K(x,y)$ 是半正定的，這意味著對于任意有限輸入集 { x 1 , x 2 , … , x n } ? X \{x_1, x_2, \ldots, x_n\} \subset \mathcal{X} {x1?,x2?,…,xn?}?X 和任意實值函數 $f$，有：

$$?K(x,y)f(x)f(y)dxdy\ge 0$$

3. 積分方程

考慮 $K(x,y)$ 作為積分算子 $T$ 的核，定義為：

$$(Tf)(x)=\int K(x,y)f(y)dy$$

4. 特征值和特征函數

根據積分方程理論，對稱核函數 $K(x,y)$ 可以分解為特征值和特征函數的級數展開：

$$K(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\lambda }_i{?}_i(x){?}_i(y)$$

其中，${\lambda }_i$ 是非負的特征值，${?}_i$ 是對應的特征函數，并且這些特征函數構成了一個正交基。

5. Mercer 定理

Mercer 定理表明，如果 $K(x,y)$ 滿足 Mercer 條件，那么它可以表示為上述特征值和特征函數的級數展開形式。這意味著 $K(x,y)$ 可以表示為某個高維特征空間中的內積。

6. 證明細節

證明的具體細節涉及到泛函分析中的譜理論和積分方程的解法。通過對稱核函數的性質和緊致度量空間上的積分方程理論，可以證明 $K(x,y)$ 的半正定性保證了其可以分解為特征值和特征函數的級數展開形式。

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