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🍇Python粒子群優化算法優化葛根函數

在計算科學中，粒子群優化是一種計算方法，它通過迭代嘗試改進候選解決方案來優化問題，以滿足給定的質量標準。它通過擁有一組候選解決方案（這里稱為粒子）并根據粒子位置和速度的簡單數學公式在搜索空間中移動這些粒子來解決問題。每個粒子的運動都受到其局部最佳已知位置的影響，但也被引導到搜索空間中的最佳已知位置，這些位置會隨著其他粒子找到更好的位置而更新。這有望使群體向最佳解決方案移動。

此算法的一個基本變體是通過擁有一個候選解決方案（稱為粒子）的種群（稱為群體）來工作的。這些粒子根據一些簡單的公式在搜索空間中移動。粒子的移動由它們自己在搜索空間中的最佳位置以及整個群體的最佳位置引導。當發現改進的位置時，這些位置將引導群體的移動。這個過程不斷重復，希望最終能找到令人滿意的解決方案，但不能保證。

形式上，令 $^n \rightarrow R$ 為必須最小化的成本函數。該函數將候選解作為實數向量形式的參數，并產生一個實數作為輸出，該實數指示給定候選解的目標函數值。 $f$ 的梯度未知。目標是為搜索空間中的所有 $b$ 找到一個解決方案 a，其中 $\leq f( b )$ ，這意味著 $a$ 是全局最小值。

令 $S$ 為群體中粒子的數量，每個粒子在搜索空間中都有一個位置 $_i \in R ^n$ 和一個速度 $_i \in R ^n$ 。令 $p _i$ 為粒子 $i$ 的最佳已知位置，并令 $g$ ? 為整個群體的最佳已知位置。最小化成本函數的基本粒子群優化算法是：

for 每個粒子 i = 1, ..., S do使用均勻分布的隨機向量初始化粒子的位置: xi ~ U(blo, bup)將粒子的已知位置初始化為其初始位置: pi ← xiif f(pi) < f(g) then更新群體最知名的位置: g ← pi初始化粒子速度: vi ~ U(-|bup-blo|, |bup-blo|)
while 不滿足終止條件 do:for 每個粒子 i = 1, ..., S dofor 每個維度 d = 1, ..., n do選擇隨機數: rp, rg ~ U(0,1)更新粒子的速度: vi,d ← w vi,d + φp rp (pi,d-xi,d) + φg rg (gd-xi,d)更新粒子的位置: xi ← xi + viif f(xi) < f(pi) then更新粒子的已知位置: pi ← xiif f(pi) < f(g) then更新群體最知名的位置: g ← pi

值 $_{\text {lo }}$ 和 $_{\text {up }}$ 分別表示搜索空間的下邊界和上邊界。 w參數是慣性權重。參數 $\varphi_p$ 和 $\varphi_g$ 通常被稱為認知系數和社會系數。終止標準可以是執行的迭代次數，也可以是找到足夠目標函數值的解決方案。參數 $\varphi_{ p }$ 和 $\varphi_{ g }$ ? 由實踐者選擇，并控制此算法的行為和效果。

在數學優化中，葛根函數是一個非凸函數，用作優化算法的性能測試問題。它是非線性多峰函數的典型示例。由于搜索空間大且局部最小值數量多，因此尋找此函數的最小值是一個相當困難的問題。

在 $n$ 維域上，它的定義如下：
$n+\sum_{i=1}^n\left[x_i^2-A \cos \left(2 \pi x_i\right)\right]$
其中 $A = 10$ 和 $x_i \in[-5.12,5.12]$ 。有很多極值：

全局最小值位于 $x = 0$ ，其中 $f (x) = 0$
$x_i \in[-5.12,5.12]$ 的最大函數值位于 $x_i \in[ \pm 4.52299366 \ldots, \ldots, \pm 4.52299366 \ldots]$ 附近

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text { 維數 } & \text { 最大值為 } \pm 4.52299366 \\ \hline 1 & 40.35329019 \\ \hline 2 & 80.70658039 \\ \hline 3 & 121.0598706 \\ \hline 4 & 161.4131608 \\ \hline 5 & 201.7664509 \\ \hline 6 & 242.1197412 \\ \hline 7 & 282.4730314 \\ \hline 8 & 322.8263216 \\ \hline 9 & 363.1796117 \\ \hline \end{array}$

下面是使用此算法優化葛根函數的示例，葛根函數是優化中流行的測試函數。葛根函數有許多局部最小值，使其成為一個具有挑戰性的優化問題。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Ddef rastrigin(x):n = len(x)return 10*n + sum([xi**2 - 10*np.cos(2*np.pi*xi) for xi in x])def pso(cost_func, dim=2, num_particles=30, max_iter=100, w=0.5, c1=1, c2=2):particles = np.random.uniform(-5.12, 5.12, (num_particles, dim))velocities = np.zeros((num_particles, dim))best_positions = np.copy(particles)best_fitness = np.array([cost_func(p) for p in particles])swarm_best_position = best_positions[np.argmin(best_fitness)]swarm_best_fitness = np.min(best_fitness)for i in range(max_iter):r1 = np.random.uniform(0, 1, (num_particles, dim))r2 = np.random.uniform(0, 1, (num_particles, dim))velocities = w * velocities + c1 * r1 * (best_positions - particles) + c2 * r2 * (swarm_best_position - particles)particles += velocitiesfitness_values = np.array([cost_func(p) for p in particles])improved_indices = np.where(fitness_values < best_fitness)best_positions[improved_indices] = particles[improved_indices]best_fitness[improved_indices] = fitness_values[improved_indices]return swarm_best_position, swarm_best_fitnesssolution, fitness = pso(rastrigin, dim=dim)print('Solution:', solution)
print('Fitness:', fitness)x = np.linspace(-5.12, 5.12, 100)
y = np.linspace(-5.12, 5.12, 100)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = rastrigin([X, Y])fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')ax.scatter(solution[0], solution[1], fitness, color='red')
plt.show()