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矩陣正態分布是一種推廣的正態分布，它應用于矩陣形式的數據。矩陣正態分布在多維數據分析、貝葉斯統計和機器學習中有廣泛的應用。其定義和性質如下：

定義

設 $\mathbf{X}$ 是一個 $n\times m$ 的隨機矩陣，如果 $\mathbf{X}$ 服從矩陣正態分布，記作 $\mathbf{X}～\mathcal{M}\mathcal{N}(\mathbf{M},\mathbf{U},\mathbf{V})$，那么其概率密度函數為：

$$f(\mathbf{X}|\mathbf{M},\mathbf{U},\mathbf{V})=\frac{\exp \left(?\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left[{\mathbf{V}}^{?1}(\mathbf{X}?\mathbf{M}{)}^{?}{\mathbf{U}}^{?1}(\mathbf{X}?\mathbf{M})\right]\right)}{(2\pi {)}^{\frac{nm}{2}}|\mathbf{V}{|}^{\frac{n}{2}}|\mathbf{U}{|}^{\frac{m}{2}}},$$

其中：

• $\mathbf{M}$ 是 $n\times m$ 的均值矩陣。
• $\mathbf{U}$ 是 $n\times n$ 的協方差矩陣，描述了行之間的協方差結構。
• $\mathbf{V}$ 是 $m\times m$ 的協方差矩陣，描述了列之間的協方差結構。

性質

1. 均值和協方差：

   • $\mathbb{E}[\mathbf{X}]=\mathbf{M}$
   • $\mathrm{Cov}(\mathrm{vec}(\mathbf{X}))=\mathbf{V}?\mathbf{U}$

   其中 $\mathrm{vec}(\mathbf{X})$ 表示將矩陣 $\mathbf{X}$ 展平為一個列向量，$?$ 表示 Kronecker 乘積。

2. 條件分布：

   • 如果對 $\mathbf{X}$ 的行或列進行條件化，條件分布仍然是矩陣正態分布。

3. 獨立性：

   • 如果 $\mathbf{U}$ 和 $\mathbf{V}$ 都是對角矩陣，那么矩陣中的元素是獨立的。

4. 邊際分布：

   • 如果 $\mathbf{X}～\mathcal{M}\mathcal{N}(\mathbf{M},\mathbf{U},\mathbf{V})$，那么 $\mathbf{X}$ 的任意一行或任意一列的分布是多元正態分布。例如， $\mathbf{X}$ 的第 $i$ 行的分布為 $\mathcal{N}({\mathbf{X}}_{i?},V)$，其中 ${\mathbf{X}}_{i?}$ 是第 $i$ 行的均值向量。

應用

1. 多變量統計分析：

   • 在多變量統計分析中，用于描述和估計多元數據的協方差結構。

2. 貝葉斯統計：

   • 在貝葉斯統計中，作為先驗分布和后驗分布的一部分，用于處理矩陣形式的數據。

3. 機器學習：

   • 在機器學習中，特別是在高斯過程回歸和多元線性回歸中，用于建模和預測矩陣形式的數據。