三相感應電機的建模仿真（2）基于ABC相坐標系S-Fun的仿真模型

1. 概述

2. 三相感應電動機狀態方程式

3. 基于S-Function的仿真模型建立

4. 瞬態分析實例

5. 總結

6. 參考文獻

1. 概述

? ? ? ?前面建立的三相感應電機在ABC相坐標系下的數學模型是一組周期性變系數微分方程（其電感矩陣是轉子位置角的函數，轉子位置角隨時間按正弦規律變化），依目前的數值計算和計算機水平求解這組方程已完全沒有問題。自然坐標系下的三相感應電機數學模型，將其用于電機控制系統的設計和控制策略的分析定制也許不太合適，有點勉為其難。而將其用于理解電機的基本物理原理和數學特性，設計更高效的電機和優化算法；對分析三相感應電機的啟動、運行和制動等狀態，深入理解電機的工作原理和學生工程師的教育培訓；提供電機的故障診斷和分析的詳細信息；用于電機與機械系統的耦合分析等也許是非常合適的。

? ? ? ?電機的數學模型具有多樣性，而根據數學模型建立的仿真模型更具多樣性，因為同一個數學模型可以建立起對應的多個仿真模型。本文將根據前面所建立的三相感應電機在ABC相坐標系下的數學模型，用Matlab的動態分析工具Simulink建立基于S函數的仿真模型，這個仿真模型只對磁鏈方程和電磁轉矩方程建立S函數，而電壓方程和機械運動方程仍然用Simulink的基本功能模塊建立，這樣更方便對三相感應電機的某些運行狀態或動態行為進行仿真。用建立的仿真模型對三相感應電動機在三相對稱電源下直接起動和在不對稱三相電源下直接起動的起動過程進行仿真分析。

2. 三相感應電動機相坐標系下的狀態方程式

? ? ? ?為閱讀方便，將前面建立的三相感應電動機在ABC相坐標系下的狀態方程式羅列如下：

$\mathbf{u}=\mathbf{Ri}+\mathbf{L}\frac{d\mathbf{i}}{dt}+\omega_r\frac{\partial\mathbf{L}}{\partial\theta}\mathbf{i}\\\frac12n_p\mathbf{i}^T\frac{\partial\mathbf{L}}{\partial\theta}\mathbf{i}=T_L+\frac J{n_p}\frac{d\omega_r}{dt}\\\omega_r=\frac{d\theta}{dt}$ ? ? （1）

（1）式中，

$\mathbf{u}=\begin{bmatrix}u_A&u_B&u_C&u_a&u_b&u_c\end{bmatrix}^T;$ ? $R=diag(R_s\quad R_s\quad R_s\quad R_\mathrm{r}\quad R_r\quad R_r)$ ；

$\mathbf{i}=\begin{bmatrix}\dot{\boldsymbol{\iota}}_{A}&\dot{\boldsymbol{\iota}}_{B}&\dot{\boldsymbol{\iota}}_{C}&\dot{\boldsymbol{\iota}}_{a}&\dot{\boldsymbol{\iota}}_{b}&\dot{\boldsymbol{\iota}}_{c}\end{bmatrix}^{T}$ ；

$\begin{gathered}L=\begin{bmatrix}M_{ss}+L_{sl} & -M_{ss}/2 & -M_{ss}/2 & M_{sr}\cos\theta_1 & M_{sr}\cos\theta_3 & M_{sr}\cos\theta_2\\ -M_{ss}/2 & M_{ss}+L_{sl} & -M_{ss}/2 & M_{sr}\cos\theta_2 & M_{sr}\cos\theta_1 & M_{sr}\cos\theta_3\\ -M_{ss}/2 & -M_{ss}/2 & M_{ss}+L_{sl} & M_{sr}\cos\theta_3 & M_{sr}\cos\theta_2 & M_{sr}\cos\theta_1\\ M_{sr}\cos\theta_1 & M_{sr}\cos\theta_2 & M_{sr}\cos\theta_3 & M_{rr}+L_{rl} & -M_{rr}/2 & -M_{rr}/2\\ M_{sr}\cos\theta_3 & M_{sr}\cos\theta_1 & M_{sr}\cos\theta_2 & -M_{rr}/2 & M_{rr}+L_{rl} & -M_{rr}/2\\ M_{sr}\cos\theta_2 & M_{sr}\cos\theta_3 & M_{sr}\cos\theta_1 & -M_{rr}/2 & -M_{rr}/2 & M_{rr}+L_{rl}\end{bmatrix}\end{gathered}$

$M_{ss}$ ：定子繞組互感； $M_{rr}$ :轉子繞組互感； $L_{ls}$ ：定子繞組漏感；

$L_{lr}$ :折算到定子繞組的轉子繞組漏電感； $M_{sr}$ ：定轉子繞組間的互感；

$\theta_1=\theta\text{,}\theta_2=\theta-2\pi/3\text{,}\theta_3=\theta+2\pi/3$ 。 $\theta$ ：定子A相繞組與轉子a相繞組之間的夾角。

也可以將式（1）中的電壓方程式寫成以下矩陣形式：

$\begin{bmatrix}\mathbf{u}_s\\\mathbf{u}_r\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf{R}_s&\mathbf{0}\\\mathbf{0}&\mathbf{R}_r\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{i}_s\\\mathbf{i}_r\end{bmatrix}+p\begin{bmatrix}\mathbf{L}_s&\mathbf{M}_{sr}\\\mathbf{M}_{rs}&\mathbf{L}_r\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{i}_s\\\mathbf{i}_r\end{bmatrix}$ ? ? （2）

方程（2）中，

$\mathbf{u}_s=\begin{bmatrix}u_A&u_B&u_C\end{bmatrix}^T;\quad\mathbf{u}_r=\begin{bmatrix}u_a&u_b&u_c\end{bmatrix}^T;$

$\mathbf{R}_s=diag(R_s\quad R_s\quad R_s);$ ? $\mathbf{R}_r=diag(R_r\quad R_r\quad R_r);$

$\mathbf{i}_s=\begin{bmatrix}i_A&i_B&i_C\end{bmatrix}^T;\quad\mathbf{i}_r=\begin{bmatrix}i_a&i_b&i_c\end{bmatrix}^T;$

設定、轉子零序電流等于零，即設 $i_A+i_B+i_C=0$ ? ? $i_a+i_b+i_c=0$ ，則有

$\mathbf{L}_s=diag(L_s\quad L_s\quad L_s)$ ； $\mathbf{L}_{r}=diag(L_{r}\quad L_{r}\quad L_{r})$ ；

$L_s=L_{ss}+L_{sm}/2;\quad L_r=L_{rr}+L_{sm}/2$ ；

$\mathbf{M}_{sr}=M_{sr}\begin{bmatrix}\cos\theta & \cos(\theta+2\pi/3) & \cos(\theta-2\pi/3)\\ \cos(\theta-2\pi/3) & \cos\theta & \cos(\theta+2\pi/3)\\ \cos(\theta+2\pi/3) & \cos(\theta-2\pi/3) & \cos\theta\end{bmatrix}$

$\mathbf{M}_{rs}=\mathbf{M}_{sr}^T$

$T_e=n_pi^T\frac{\partial L}{\partial\theta}i$ ? ? （3）

3. 基于S-Function的仿真模型

? ? ? ?根據以上數學模型，用Simulink建立的ABC相坐標系下的三相感應電動機仿真模型如圖1和圖2所示，其中，左邊圖形為最后的封裝形式，它由三個子系統所組成，如右邊圖形所示。圖1中的子系統1表示的是定轉子電壓方程，子系統2是用S函數表示的磁鏈方程和電磁轉矩方程，S函數取名為flux_torque，如圖2所示，子系統3表示的是進行運動方程。這個仿真模型可以作為通用的仿真模型使用，可以用于為了三相感應電動機電源電壓不對稱、定轉子繞組回路串電阻或電抗、起動、調速以及繞組開路故障等的動態行為的仿真分析。如果要考慮主磁路飽和因素，可以在S函數中加以補充。如果要對三相感應電機的定子繞組故障（一相開路，兩相短路等）、定子繞組回路串電阻（電抗）起動以及轉子繞組回路串電阻起動等可以在子系統1中進行修改來達到仿真的目的。如果要對轉子的轉動慣量對電機運行性能的影響進行仿真分析，可以修改子系統3來進行。S函數的程序代碼如下：

圖1. 三相感應電動機ABC相坐標數學模型

圖2. 圖1中子系統2的S-Fun（磁鏈和電磁轉矩方程）模塊

% This S function corresponds to the ABC phase coordinate 
% mathematical model of a three-phase induction motorfunction [sys,x0,str,ts,simStateCompliance] =flux_torque(t,x,u,flag,Lsl,Lrl,Lm,np)
%==========================================================================
switch flagcase 0[sys,x0,str,ts,simStateCompliance]=mdlInitializeSizes;case 1sys=mdlDerivatives(t,x,u);case 2sys=mdlUpdate(t,x,u);case 3sys=mdlOutputs(t,x,u,Lsl,Lrl,Lm,np);case 4sys=mdlGetTimeOfNextVarHit(t,x,u);case 9sys=mdlTerminate(t,x,u);otherwiseDAStudio.error('Simulink:blocks:unhandledFlag', num2str(flag));
end
%==========================================================================
function [sys,x0,str,ts,simStateCompliance]=mdlInitializeSizes
sizes = simsizes;
sizes.NumContStates  = 0;
sizes.NumDiscStates  = 0;
sizes.NumOutputs     = 7;
sizes.NumInputs      = 7;
sizes.DirFeedthrough = 1;
sizes.NumSampleTimes = 1;   % at least one sample time is needed
sys = simsizes(sizes);
x0  = zeros(0,0);
str = [];
ts  = [0 0];
simStateCompliance = 'UnknownSimState';
%==========================================================================
function sys=mdlDerivatives(t,x,u)
sys  = [];%==========================================================================
function sys=mdlUpdate(t,x,u)
sys = [];
%==========================================================================
function sys=mdlOutputs(t,x,u,Lsl,Lrl,Lm,np)
% Write inductance matrix for magnetic flux equation
ang=2/3*pi;
Lml=2/3*Lm;
Ls=Lsl+Lml;
Lr=Lrl+Lml;% Stator inductance matrix
Lss=[Ls -Lml/2 -Lml/2;-Lml/2  Ls -Lml/2;-Lml/2 -Lml/2  Ls];% Rotor inductance matrix
Lrr=[Lr -Lml/2 -Lml/2;-Lml/2  Lr -Lml/2;-Lml/2 -Lml/2  Lr];% Matrix of mutual inductance between stator and rotor
Lsr=Lml*[cos(u(1)),cos(u(1)+ang),cos(u(1)-ang);cos(u(1)-ang),cos(u(1)),cos(u(1)+ang);cos(u(1)+ang),cos(u(1)-ang),cos(u(1))];% Total inductance matrix
L=[Lss Lsr; Lsr' Lrr];%The derivative of the total inductance matrix with respect to the rotor position angle
dLsrdtheta=Lml*[-sin(u(1)), -sin(u(1)+ang),-sin(u(1)-ang);-sin(u(1)-ang),-sin(u(1)), -sin(u(1)+ang);-sin(u(1)+ang),-sin(u(1)-ang),-sin(u(1))];dLdtheta =[zeros(3,3) dLsrdtheta;dLsrdtheta' zeros(3,3)];% Current state variable
Psi=[u(2);u(3);u(4);u(5);u(6);u(7)];
I=L\(Psi);% Electromagnetic torque
Te=I'*dLdtheta*I*np;
sys=[I(1);I(2);I(3);I(4);I(5);I(6);Te];%==========================================================================
function sys=mdlGetTimeOfNextVarHit(t,x,u)
sampleTime = 1;    %  Example, set the next hit to be one second later.
sys = t + sampleTime;
%==========================================================================
function sys=mdlTerminate(t,x,u)
sys = [];
% end mdlTerminate

4. 瞬態分析實例

? ? ? ?仿真計算用的電機參數如下：額定電壓Un=220v，額定頻率fn=50Hz,極對數np=2，轉動慣量J=0.01，摩擦阻尼系數Bm=0.0006，定子電阻Rs=6.033歐，定子電感Lss=0.29614H，轉子電阻Rr=4.467歐，轉子電感Lrr=0.29614H，定子繞組互感Ms=0.1363H，轉子繞組互感Mr=0.1363H，定轉子繞組互感Msr=0.2726H;負載轉矩TL=7.5N.m。

4.1 對稱電源直接起動

? ? ? 在三相額定對稱電壓下帶恒轉矩負載TL=7.5N.m直接起動，起動過程的仿真結果圖3所示。

設Y接三相對稱電源電壓為

$u_{A}=220\sqrt{2}\sin(\omega t)\nu\\u_{B}=220\sqrt{2}\sin(\omega t-120^{\circ})\nu\\u_{C}=220\sqrt{2}\sin(\omega t+120^{\circ})\nu$

圖3. 三相感應電動機在三相對稱電源電壓下直接起動時的定子電流特性

圖4. 三相感應電動機三相對稱電源電壓下直接起動時的電磁轉矩和轉速特性

? ? ? ?從圖3和圖4的仿真結果來看，三相對稱定子繞組感應電動機在三相對稱電源下起動并穩定運行，起動電流倍數約為5.56，定子穩態電流幅值為3.6A，三相定子電流平衡。電機穩定運行時，電磁轉矩無脈振現象，轉速為1467r/min。

4.2 非對稱電源直接起動

? ? ? ?三相感應電動機在不對稱電源電壓下運行是實際中經常遇到的一個問題，因為當電網中有較大的單相負載（如電爐﹑電焊機等），或者電網中發生暫時性短路故障（兩相短路﹑一相接地等），或電網一相斷開等都將引起電網三相電壓不平衡。

? ? ?在電動機帶恒轉矩負載TL=7.5N.m,定子繞組端直接施加三相不對稱電壓：

$u_{A}=176\sqrt{2}\sin(\omega t)\nu\\u_{B}=220\sqrt{2}\sin(\omega t-120^{\circ})\nu\\u_{C}=220\sqrt{2}\sin(\omega t+120^{\circ})\nu$

直接起動時的仿真結果如圖5和圖6所示。

圖5. 三相感應電動機在非對稱三相電源電壓下直接起動時的定子電流特性

圖6. 三相感應電動機在非對稱三相電源電壓下直接起動時的轉矩和轉速特性

? ? ? ?從圖5和圖6的仿真結果可見，三相對稱定子繞組感應電動機在三相不對稱電源下起動并穩定運行，起動時定子各相的沖擊電流（起動過程中的最大電流幅值）與圖3的定子電流相比較相差不大，但穩態時電機三相定子電流不平衡，A相電流幅值大為減小（約為0.5A），而另外兩相電流幅值都有所增加（約為4.5A）。這種三相定子電流不平衡的程度會隨三相電源電壓的不平衡程度的增加而增加。電機穩定運行時，電磁轉矩波形有明顯的二倍頻脈振現象，轉速也有明顯的波動（振動）。起動過程有所延長，穩定轉速的數值也略有降低。

? ? ? ?從上面的結果可以對稱結論：三相電源電壓不對稱時，電動機的平均起動轉矩較小，轉速的過渡過程較長，電機的過載能力降低（轉矩最大值有所減小）；由于電流的波動加劇，使轉矩的脈振程度增加，這將會加大電機的電磁噪聲和機械振動。用瞬時對稱分量法來分析，可知三相感應電動機在電源電壓不對稱情況下運行時的各不利因素，都是由于負序磁場分量造成的（負序磁場分量的存在還會增加電機的鐵耗）。不對稱程度增大時，負序磁場分量值變大，上述不利情形將會更為嚴重。因此，三相異步電動機一般不容許在較嚴重不對稱電源電壓下運行，否則必須相應地降低電動機的容量。

? ? ? ?對三相感應電動機在電源電壓不對稱情況下運行的瞬態和穩態過程進行仿真，仿真的結果可以作為電機以及系統控制﹑調節﹑保護裝置設計的直接理論依據，對完善電機及其系統的運行性能有實際意義。

5. 總結

? ? ? ?本文根據三相感應電機在ABC相坐標系下的數學模型建立了基于S函數的仿真模型，然后應用這個仿真模型對?三相感應電動機在三相對稱電源和不對稱電源兩種情況下的直接起動過程進行了仿真分析。得出了有用的分析結論。?

6. 參考文獻

（1）黃守道，鄧建國，羅德榮. 電機瞬態過程分析德Matlab建模仿真北京電子工業出版社，2013

（2）湯蘊璆等交流電機動態分析. 北京機械工業出版社 2004