在本篇文章中，我們將詳細解讀力扣第218題“天際線問題”。通過學習本篇文章，讀者將掌握如何使用掃描線算法和堆來解決這一問題，并了解相關的復雜度分析和模擬面試問答。每種方法都將配以詳細的解釋，以便于理解。

問題描述

力扣第218題“天際線問題”描述如下：

城市的天際線是從遠處觀看建筑物形成的輪廓。現在，給你所有建筑物的位置和高度，繪制出它們的天際線。

每個建筑物的幾何信息用三元組表示 [left, right, height]，其中 left 是建筑物的左邊緣，right 是建筑物的右邊緣，height 是建筑物的高度。天際線應該表示為由 “關鍵點” 組成的列表，其中每個關鍵點是一個二維坐標 (x, y) 并按照 x 坐標進行排序。關鍵點是天際線在 x 軸上圖形的轉折點。注意，最左側的建筑物可能會影響天際線的高度，而最右側建筑物可能會影響天際線的高度。

示例:

輸入: [[2,9,10],[3,7,15],[5,12,12],[15,20,10],[19,24,8]]
輸出: [[2,10],[3,15],[7,12],[12,0],[15,10],[20,8],[24,0]]

示例:

輸入: [[0,2,3],[2,5,3]]
輸出: [[0,3],[5,0]]

解題思路

方法：掃描線算法和最大堆

1. 初步分析：

   • 使用掃描線算法可以有效地處理建筑物的左右邊緣，并維護當前的最大高度。
   • 通過最大堆來動態維護當前的最高建筑物高度。

2. 步驟：

   • 將所有的建筑物邊緣按照 x 坐標排序，如果 x 坐標相同，按左邊緣先于右邊緣排序。
   • 使用一個最大堆來維護當前的建筑物高度。
   • 遍歷所有的邊緣，更新堆和結果列表。

代碼實現

import heapqdef getSkyline(buildings):events = []for l, r, h in buildings:events.append((l, -h, r))events.append((r, 0, 0))events.sort()result = [[0, 0]]max_heap = [(0, float("inf"))]for x, neg_h, r in events:while max_heap[0][1] <= x:heapq.heappop(max_heap)if neg_h:heapq.heappush(max_heap, (neg_h, r))if result[-1][1] != -max_heap[0][0]:result.append([x, -max_heap[0][0]])return result[1:]# 測試案例
print(getSkyline([[2,9,10],[3,7,15],[5,12,12],[15,20,10],[19,24,8]]))  # 輸出: [[2,10],[3,15],[7,12],[12,0],[15,10],[20,8],[24,0]]
print(getSkyline([[0,2,3],[2,5,3]]))  # 輸出: [[0,3],[5,0]]

復雜度分析

• 時間復雜度：O(n log n)，其中 n 是建筑物的數量。排序操作和堆操作的時間復雜度均為 O(n log n)。
• 空間復雜度：O(n)，用于存儲事件和堆。

模擬面試問答

問題 1：你能描述一下如何解決這個問題的思路嗎？

回答：我們可以使用掃描線算法和最大堆來解決這個問題。通過遍歷所有的建筑物邊緣，維護一個最大堆來動態更新當前的最高建筑物高度，并在每個關鍵點記錄下當前的天際線高度變化。

問題 2：為什么選擇使用掃描線算法和最大堆來解決這個問題？

回答：掃描線算法通過遍歷所有的建筑物邊緣，可以有效地處理建筑物的左右邊緣，并維護當前的最大高度。最大堆可以高效地動態維護當前的最高建筑物高度，從而解決天際線問題。

問題 3：你的算法的時間復雜度和空間復雜度是多少？

回答：算法的時間復雜度為 O(n log n)，其中 n 是建筑物的數量。排序操作和堆操作的時間復雜度均為 O(n log n)。空間復雜度為 O(n)，用于存儲事件和堆。

問題 4：在代碼中如何處理邊界情況？

回答：對于沒有建筑物的情況，可以直接返回空列表。通過這種方式，可以處理邊界情況。

問題 5：你能解釋一下掃描線算法的工作原理嗎？

回答：掃描線算法通過遍歷所有的建筑物邊緣，將其按照 x 坐標排序，并使用最大堆來動態維護當前的最高建筑物高度。在每個關鍵點記錄下當前的天際線高度變化，從而繪制出天際線。

問題 6：在代碼中如何確保返回的結果是正確的？

回答：通過遍歷所有的建筑物邊緣，維護最大堆，并在每個關鍵點記錄下當前的天際線高度變化，確保返回的結果是正確的。可以通過測試案例驗證結果。

問題 7：你能舉例說明在面試中如何回答優化問題嗎？

回答：在面試中，如果面試官問到如何優化算法，我會首先分析當前算法的瓶頸，如時間復雜度和空間復雜度，然后提出優化方案。例如，可以通過減少不必要的操作和優化數據結構來提高性能。解釋其原理和優勢，最后提供優化后的代碼實現。

問題 8：如何驗證代碼的正確性？

回答：通過運行代碼并查看結果，驗證返回的天際線是否正確。可以使用多組測試數據，包括正常情況和邊界情況，確保代碼在各種情況下都能正確運行。例如，可以在測試數據中包含多個不同的建筑物，確保代碼結果正確。

問題 9：你能解釋一下解決天際線問題的重要性嗎？

回答：解決天際線問題在計算幾何和圖形學中具有重要意義。通過學習和應用掃描線算法和堆，可以提高處理復雜幾何問題和動態數據結構的能力。在實際應用中，天際線問題廣泛用于城市規劃、建筑設計和數據可視化等領域。

問題 10：在處理大數據集時，算法的性能如何？

回答：算法的性能取決于建筑物的數量。在處理大數據集時，通過優化掃描線算法和堆的實現，可以顯著提高算法的性能。例如，通過減少不必要的操作和優化堆操作，可以減少時間和空間復雜度，從而提高算法的效率。

總結

本文詳細解讀了力扣第218題“天際線問題”，通過使用掃描線算法和堆的方法高效地解決了這一問題，并提供了詳細的解釋和模擬面試問答。希望讀者通過本文的學習，能夠在力扣刷題的過程中更加得心應手。