【數據結構】棧的應用

0? 引言

????????棧（Stack）是一種非常基本且重要的數據結構，它們在許多計算機科學和軟件工程的應用中都有廣泛的用途。

? ? ? ? 棧：

????????????????①括號匹配；

? ? ? ? ? ? ? ? ②表達式求值；

? ? ? ? ? ? ? ? ③遞歸函數調用。

1? 棧在括號匹配中的應用

? ? ? ? 表達式中有兩種括號：圓括號 ( ) 和方括號 [ ]，嵌套的順序任意，但應為正確的格式。

????????例如：( ( [ ]?[ ] ) ) 為正確格式。

? ? ? ? 但如何用算法實現括號匹配問題？

? ? ? ? 思路如下：

? ? ? ? （1）初始一個空棧；

? ? ? ? （2）順序讀入括號；

? ? ? ? （3）當讀入的為左括號，將繼續讀入括號，直到讀入第一個右括號。那將檢測與之最近的左括號是否與之相匹配，若匹配，則出棧；若不匹配，則退出程序。當程序結束時，棧為空。反之，則表明括號序列的格式不正確。

? ? ? ? 代碼如下：

#include <stdio.h>  
#include <stdlib.h>  
#include <stdbool.h>  #define MAX_SIZE 100 // 假設棧的最大大小  typedef struct {  char data[MAX_SIZE];  int top;  
} Stack;  // 初始化棧  
void initStack(Stack *s) {  s->top = -1;  
}  // 判斷棧是否為空  
bool isEmpty(Stack *s) {  return s->top == -1;  
}  // 入棧  
void push(Stack *s, char c) {  if (s->top >= MAX_SIZE - 1) {  printf("Stack overflow\n");  return;  }  s->data[++s->top] = c;  
}  // 出棧  
char pop(Stack *s) {  if (isEmpty(s)) {  printf("Stack underflow\n");  return '#'; // 返回一個無效字符，或可以選擇拋出一個錯誤  }  return s->data[s->top--];  
}  // 檢查兩個括號是否匹配  
bool isMatch(char c1, char c2) {  if (c1 == '(' && c2 == ')') return true;  if (c1 == '[' && c2 == ']') return true;  if (c1 == '{' && c2 == '}') return true;  return false;  
}  // 括號匹配函數  
bool isBalanced(char *str) {  Stack s;  initStack(&s);  for (int i = 0; str[i] != '\0'; i++) {  if (str[i] == '(' || str[i] == '[' || str[i] == '{') {  push(&s, str[i]);  } else if (str[i] == ')' || str[i] == ']' || str[i] == '}') {  if (isEmpty(&s)) {  // 棧為空，但遇到了右括號，不匹配  return false;  }  char topChar = pop(&s);  if (!isMatch(topChar, str[i])) {  // 棧頂元素與當前右括號不匹配  return false;  }  }  }  // 如果棧為空，則所有括號都匹配  return isEmpty(&s);  
}  int main() {  char str[MAX_SIZE];  printf("Enter a string with brackets: ");  scanf("%s", str); if (isBalanced(str)) {  printf("The brackets are balanced.\n");  } else {  printf("The brackets are not balanced.\n");  }  return 0;  
}

2? 棧在表達式求值中的應用

? ? ? ? 2.1 算數表達式

????????中綴表達式是人們常用的算術表達式，即操作符以中綴形式處于操作數之間。但在計算機中，中綴表達式相較于前綴和后綴表達式來說，更不易被計算機識別。前綴表達式成為波蘭式，后綴表達式又稱逆波蘭式。

? ? ? ? 2.2 中綴表達式轉后綴表達式

? ? ? ? （1）手算方法：

? ? ? ? ①根據運算順序對表達式運算符排號；

? ? ? ? ②根據運算符排號順序，將運算符及兩端的操作數以（左操作數右操作數運算符）的順序重新組合。

? ? ? ? 例如：( A + B ) * C + ( D - E ) / F 轉后綴表達式的過程如下：

? ? ? ??（2）算法實現：

? ? ? ? ①初始一個棧；

? ? ? ? ②遇到操作數，直接加入后綴表達式；

? ? ? ? ③遇到界限符，若為左括號直接入棧，若為右括號，則依次彈出棧中的運算符，加入后綴表達式，知道彈出左括號為止。需要注意的是，左括號和右括號直接刪除，不加入后綴表達式。

? ? ? ? ④遇到運算符，則看運算符的優先級，若高于除左括號外的棧頂元素，則直接入棧。反之，則依次彈出棧中優先級高于或等于當前運算符的所有運算符，并加入后綴表達式，直到遇到低于他的優先級的運算符，才入棧。

#include <stdio.h>  
#include <stdlib.h>  
#include <string.h>  
#include <stdbool.h>  #define MAX_SIZE 100  typedef struct {  char data[MAX_SIZE];  int top;  
} Stack;  // 初始化棧  
void initStack(Stack *s) {  s->top = -1;  
}  // 判斷棧是否為空  
bool isEmpty(Stack *s) {  return s->top == -1;  
}  // 入棧  
bool push(Stack *s, char c) {  if (s->top >= MAX_SIZE - 1) {  return false; // 棧溢出  }  s->data[++s->top] = c;  return true;  
}  // 出棧  
char pop(Stack *s) {  if (isEmpty(s)) {  return '\0'; // 棧空，返回空字符  }  return s->data[s->top--];  
}  // 獲取棧頂元素，但不彈出  
char peek(Stack *s) {  if (isEmpty(s)) {  return '\0'; // 棧空，返回空字符  }  return s->data[s->top];  
}  // 運算符的優先級比較（這里只處理了基本的四則運算）  
int precedence(char op) {  if (op == '+' || op == '-') {  return 1;  }  if (op == '*' || op == '/') {  return 2;  }  return 0; // 如果不是運算符，返回0  
}  // 將中綴表達式轉換為后綴表達式  
void infixToPostfix(char *infix, char *postfix) {  Stack s;  initStack(&s);  int i = 0, j = 0;  while (infix[i] != '\0') {  if (infix[i] >= '0' && infix[i] <= '9') {  // 如果是操作數，直接添加到后綴表達式中  postfix[j++] = infix[i++];  postfix[j++] = ' '; // 假設操作數都是個位數，用空格分隔  } else if (infix[i] == '(') {  // 如果是左括號，直接入棧  push(&s, infix[i++]);  } else if (infix[i] == ')') {  // 如果是右括號，則彈出棧中元素直到遇到左括號  while (!isEmpty(&s) && peek(&s) != '(') {  postfix[j++] = pop(&s);  postfix[j++] = ' ';  }  // 彈出左括號，但不加入后綴表達式  pop(&s);  i++;  } else {  // 如果是運算符  while (!isEmpty(&s) && precedence(peek(&s)) >= precedence(infix[i])) {  // 如果棧不為空且棧頂元素優先級高于或等于當前運算符，彈出棧頂元素  postfix[j++] = pop(&s);  postfix[j++] = ' ';  }  // 當前運算符入棧  push(&s, infix[i++]);  }  }  // 彈出棧中剩余的所有運算符  while (!isEmpty(&s)) {  postfix[j++] = pop(&s);  postfix[j++] = ' ';  }  // 添加字符串結束符  postfix[j] = '\0';  
}  int main() {  char infix[MAX_SIZE], postfix[MAX_SIZE * 2]; // 后綴表達式可能更長，因此分配更多空間  printf("Enter an infix expression: ");  scanf("%s", infix); // 注意：這里不會處理空格和復雜輸入  infixToPostfix(infix, postfix);  printf("Postfix expression: %s\n", postfix);  return 0;  
}

2.3 后綴表達式求值

????????后綴表達式（也稱為逆波蘭表示法或逆波蘭記法）是一種不需要括號來標明運算符的優先級的數學表達式。在這種表示法中，所有的運算符都放在操作數的后面。

????????求值后綴表達式的基本步驟如下：

初始化一個棧，用于存儲操作數。
從左到右掃描后綴表達式。
如果掃描到操作數，則將其壓入棧中。
如果掃描到運算符，則從棧中彈出兩個操作數（先彈出的為右操作數，后彈出的為左操作數），將這兩個操作數作為運算符的輸入進行運算，然后將結果壓回棧中。
重復步驟2-4，直到后綴表達式掃描完畢。
棧中剩下的元素就是表達式的值。

????????示例：

????????后綴表達式：3 4 + 5 *

????????求值過程：

掃描到?3，壓入棧：[3]
掃描到?4，壓入棧：[3, 4]
掃描到?+，彈出?4?和?3，計算?3 + 4?得到?7，壓入棧：[7]
掃描到?5，壓入棧：[7, 5]
掃描到?*，彈出?5?和?7，計算?7 * 5?得到?35，壓入棧：[35]
掃描完畢，棧中元素?35?即為表達式的值。

????????下面是實現代碼（以上述示例為例）：

#include <stdio.h>  
#include <stdlib.h>  
#include <ctype.h>  
#include <string.h>  #define MAX_STACK_SIZE 100  typedef struct {  double data[MAX_STACK_SIZE];  int top;  
} Stack;  // 初始化棧  
void initStack(Stack *s) {  s->top = -1;  
}  // 判斷棧是否為空  
int isEmpty(Stack *s) {  return s->top == -1;  
}  // 壓棧操作  
void push(Stack *s, double value) {  if (s->top >= MAX_STACK_SIZE - 1) {  printf("Stack overflow\n");  exit(1);  }  s->data[++s->top] = value;  
}  // 彈棧操作  
double pop(Stack *s) {  if (isEmpty(s)) {  printf("Stack underflow\n");  exit(1);  }  return s->data[s->top--];  
}  // 求值后綴表達式  
double evaluatePostfix(const char *postfix) {  Stack s;  initStack(&s);  const char *token = strtok((char *)postfix, " "); // 假設操作符和操作數之間用空格分隔  while (token != NULL) {  if (isdigit(token[0])) { // 如果是操作數  double value = atof(token);  push(&s, value);  } else { // 如果是運算符  double rightOperand = pop(&s); // 彈出右操作數  double leftOperand = pop(&s); // 彈出左操作數  switch (token[0]) {  case '+':  push(&s, leftOperand + rightOperand);  break;  case '-':  push(&s, leftOperand - rightOperand);  break;  case '*':  push(&s, leftOperand * rightOperand);  break;  case '/':  if (rightOperand != 0.0) {  push(&s, leftOperand / rightOperand);  } else {  printf("Error: Division by zero\n");  exit(1);  }  break;  default:  printf("Error: Unknown operator\n");  exit(1);  }  }  token = strtok(NULL, " "); // 繼續獲取下一個token  }  if (!isEmpty(&s)) {  return pop(&s); // 棧中剩下的元素就是表達式的值  } else {  printf("Error: Invalid postfix expression\n");  exit(1);  }  
}  int main() {  const char *postfix = "3 4 + 5 *";  double result = evaluatePostfix(postfix);  printf("Result: %lf\n", result);  return 0;  
}

3? 棧在遞歸中的應用

3.1 棧在函數調用中的作用

參數傳遞：當調用一個函數時，需要傳遞參數給該函數。這些參數會被壓入棧中，以便函數內部能夠訪問和使用它們。
局部變量分配：函數內部定義的局部變量會在棧上分配空間。這些變量的生命周期與函數的執行周期相同，當函數執行完畢后，這些局部變量所占用的棧空間會被自動釋放。
保存調用的返回地址：在函數調用時，CPU需要知道函數執行完畢后應該返回到哪個位置繼續執行。這個返回地址會被保存在棧中，以便函數執行完畢后能夠正確地返回到調用它的位置。
保存寄存器以供恢復：在函數調用和返回的過程中，CPU的寄存器狀態會發生變化。為了能夠在函數返回后恢復原來的寄存器狀態，棧會保存這些寄存器的值。

3.2 棧在函數調用中的工作原理

函數調用：當調用一個函數時，系統首先會創建一個新的棧幀（stack frame）來保存該函數的執行環境。這個棧幀包含了函數的返回地址、參數、局部變量等信息。然后，系統會將當前程序的執行狀態（如返回地址、寄存器狀態等）壓入棧中，以便在函數執行完畢后能夠恢復。
函數執行：在函數執行過程中，函數會訪問棧幀中的參數和局部變量，并根據需要進行計算和操作。同時，如果函數內部調用了其他函數，系統也會為這些被調用的函數創建新的棧幀，并將當前函數的執行狀態壓入棧中保存。
函數返回：當函數執行完畢或者遇到return語句時，系統會彈出當前函數的棧幀，并根據棧幀中的返回地址返回到調用它的位置繼續執行。在返回之前，系統還會恢復調用該函數時的寄存器狀態。

? ? ? ? 下面將給出一個例子：

? ? ? ? 例如：階乘，大家可以自行調試；

#include <stdio.h>int step(int n){if(n==1)return 1;elsereturn n*step(n-1);
}int main(){int n,s;scanf("%d",&n);s=step(n);printf("%d",s);
}

4? 總結

????????在本文中，我們深入探討了棧這一數據結構及其在各種應用場景中的重要作用。棧作為一種后進先出（LIFO）的數據結構，其獨特的操作方式——壓棧（push）和彈棧（pop），使得它在計算機科學和軟件開發中占據了不可或缺的地位。

????????詳細討論了棧在多個領域中的應用。其中，后綴表達式的求值是一個經典的棧應用示例。在這個問題中，我們利用棧來存儲操作數，并通過操作數的彈出和結果的壓入，實現了表達式的正確計算。這種方法不僅簡化了表達式的處理流程，而且提高了計算效率。

????????此外，棧還在函數調用、遞歸等方面發揮著重要作用。在函數調用中，棧用于存儲局部變量和返回地址，確保函數能夠正確地返回并繼續執行。在遞歸算法中，棧用于保存遞歸調用的中間結果，從而避免重復計算。

????????綜上所述，棧作為一種基本而強大的數據結構，在各個領域都有著廣泛的應用。通過學習和掌握棧的使用方法和應用場景，我們能夠更好地解決實際問題，提高編程效率。