MATLAB實現遺傳算法優化選址-路徑LRP問題(Location-Routing Problem)

一、模型

選址車輛路徑問題（Location-Routing Problem, LRP）是一個組合優化問題，旨在同時優化設施位置的選擇和車輛的配送路徑。在這個問題中，我們考慮一個由多個候選設施位置、多個客戶需求點以及多種車輛類型組成的系統。目標是確定設施的位置，并規劃出從設施到各客戶需求點的最優配送路徑，以最小化總成本。

模型假設：

候選設施點和客戶需求點的位置是已知的。
每種車輛類型的容量、成本和行駛速度等特性是已知的。
交通流量和道路條件可以量化為成本和時間的影響。
客戶需求點的需求量是已知的，且每個客戶需求點只能由一個設施點服務。
車輛從設施點出發，完成配送任務后返回原設施點。

目標函數：

最小化總成本，包括固定成本（設施建設、車輛購買等）和變動成本（運輸成本、時間成本等）。

目標函數可以表示為：

$Z = \min \left( \sum_{i \in I} f_i x_i + \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} \sum_{k \in K} c_{ijk} y_{ijk} \right)$

其中：

I是候選設施點的集合。
J是客戶需求點的集合。
K是車輛類型的集合。
$f_i$ 是在候選設施點 (i) 建立設施的固定成本。
$c_{ijk}$ ?是使用類型 (k) 的車輛從設施點 (i) 到客戶需求點 (j) 的運輸成本。
$x_i$ ?是二進制決策變量，表示是否在候選設施點 (i) 建立設施。
$y_{ijk}$ ?是二進制決策變量，表示是否使用類型 (k) 的車輛從設施點 (i) 到客戶需求點 (j) 進行配送。

約束條件：

(1)每個客戶需求點只能由一個設施點服務：

$\sum_{i \in I} \sum_{k \in K} y_{ijk} = 1, \forall j \in J$

(2)車輛容量約束：

$\sum_{j \in J} d_j y_{ijk} \leq Q_k x_i, \forall i \in I, k \in K$

其中：

$d_j$ 是客戶需求點 (j) 的需求量。
$Q_k$ 是類型 (k) 車輛的容量。

(3)設施點必須被選中才能從其出發進行配送：

$y_{ijk} \leq x_i, \forall i \in I, j \in J, k \in K$ $x_i \in {0, 1}, \forall i \in I$

$y_{ijk} \in {0, 1}, \forall i \in I, j \in J, k \in K$

本數學模型通過優化設施位置和車輛路徑來最小化總成本。

二、遺傳算法

遺傳算法的流程可以歸納為以下幾個步驟：

決策變量編碼方案：
采用兩層編碼方案：
（1）第一層編碼為選址變，長度為I,?表示選擇哪些候選點建設配送中心；
（2）第二層編碼為配送路徑編碼，長度為J，表示選擇需求點的配送優先度。
初始化種群：
- 種群是由一組個體組成的，每個個體代表一個可能的解。
- 初始化種群是指隨機生成一定數量的個體作為初始解集合。這些個體的基因組合形成了種群的初始基因型。
適應度評估：
- 適應度評估是為了衡量每個個體的適應度，即它們相對于解決問題的能力。
- 根據問題的定義，可以計算每個個體的適應度值。這個值通常用于后續的選擇操作。
選擇操作：
- 選擇操作是為了從當前種群中選擇出適應度較高的個體，使其有更大的概率被選入下一代種群。
- 常用的選擇方法有輪盤賭選擇、錦標賽選擇等。選擇操作是建立在群體中個體的適應度評估基礎上的。
交叉操作：
- 交叉操作是為了模擬生物個體的基因交換過程，通過將兩個個體的基因染色體進行交叉，產生新的個體。
- 交叉操作可以增加種群的多樣性，有助于發現更好的解。遺傳算法中起核心作用的就是交叉運算。
變異操作：
- 變異操作是為了模擬基因的突變現象，通過對個體的基因進行隨機變動，引入新的基因信息。
- 變異操作可以增加解的搜索空間，避免算法陷入局部最優解。即將變異算子作用于群體，對群體中的個體串的某些基因座上的基因值作變動。
終止條件判斷：
- 終止條件是指遺傳算法的終止條件，即算法何時停止迭代。
- 可以根據問題的要求設定終止條件，如達到一定的迭代次數、找到滿足要求的解等。
- 若滿足終止條件，則以進化過程中所得到的具有最大適應度個體作為最優解輸出，終止計算。

通過上述步驟的迭代，遺傳算法可以逐步優化種群，使其逐漸接近問題的最優解。

三、MATLAB程序及結果

部分MATLAB主程序如下：

程序結果如下：

最優目標函數

bestValue1 =

? ? ? ? ? 500.095731091227

最優染色體

bestChrom1 =

? 1 至 28 列

? ? ?1 ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? 1 ? ? 3 ? ? 1 ? ? 3 ? ? 2 ? ?18 ? ? 6 ? ? 8 ? ?17 ? ?13 ? ? 9 ? ? 2 ? ?14 ? ? 1 ? ?10

? 29 至 36 列

? ? ?4 ? ? 3 ? ?16 ? ?11 ? ? 7 ? ?12 ? ?15 ? ? 5

顯示配送中心1的各個路徑
第1輛車的路徑

route1 =

? ? ?0 ? ?14 ? ? 1 ? ?16 ? ? 0

運行時間表

outcell01 =?

? ? '路徑點' ? ?'到達時間' ? ? ? ? ? ? '開始服務時間' ? ? ? ? ?'結束時間' ? ? ? ??
? ? [ ? ?0] ? ?[ ? ? ? ? ? ? ? 0] ? ?[ ? ? ? ? ? ? ? 0] ? ?[ ? ? ? ? ? ? ? 0]
? ? [ ? 14] ? ?[3.31058907144937] ? ?[3.31058907144937] ? ?[3.31058907144937]
? ? [ ? ?1] ? ?[5.13541783053884] ? ?[5.13541783053884] ? ?[5.13541783053884]
? ? [ ? 16] ? ?[6.33541783053884] ? ?[6.33541783053884] ? ?[6.33541783053884]
? ? [ ? ?0] ? ?[9.86953723995329] ? ?[9.86953723995329] ? ?[9.86953723995329]

---------------------------------------------------------------------------
顯示配送中心2的各個路徑
第1輛車的路徑

route1 =

? ? ?0 ? ?18 ? ? 8 ? ? 9 ? ?10 ? ? 7 ? ? 0

運行時間表

outcell01 =?

? ? '路徑點' ? ?'到達時間' ? ? ? ? ? ? '開始服務時間' ? ? ? ? ?'結束時間' ? ? ? ??
? ? [ ? ?0] ? ?[ ? ? ? ? ? ? ? 0] ? ?[ ? ? ? ? ? ? ? 0] ? ?[ ? ? ? ? ? ? ? 0]
? ? [ ? 18] ? ?[3.94588393138977] ? ?[3.94588393138977] ? ?[3.94588393138977]
? ? [ ? ?8] ? ?[5.67215158155298] ? ?[5.67215158155298] ? ?[5.67215158155298]
? ? [ ? ?9] ? ?[7.17215158155298] ? ?[7.17215158155298] ? ?[7.17215158155298]
? ? [ ? 10] ? ?[8.11554969475864] ? ?[8.11554969475864] ? ?[8.11554969475864]
? ? [ ? ?7] ? ?[8.71554969475864] ? ?[8.71554969475864] ? ?[8.71554969475864]
? ? [ ? ?0] ? ?[11.8920257296124] ? ?[11.8920257296124] ? ?[11.8920257296124]

---------------------------------------------------------------------------
顯示配送中心3的各個路徑
第1輛車的路徑

route1 =

? ? ?0 ? ? 6 ? ?17 ? ?13 ? ? 2 ? ? 0

運行時間表

outcell01 =?

? ? '路徑點' ? ?'到達時間' ? ? ? ? ? ? '開始服務時間' ? ? ? ? ?'結束時間' ? ? ? ??
? ? [ ? ?0] ? ?[ ? ? ? ? ? ? ? 0] ? ?[ ? ? ? ? ? ? ? 0] ? ?[ ? ? ? ? ? ? ? 0]
? ? [ ? ?6] ? ?[1.99248588451713] ? ?[1.99248588451713] ? ?[1.99248588451713]
? ? [ ? 17] ? ?[5.95859228752752] ? ?[5.95859228752752] ? ?[5.95859228752752]
? ? [ ? 13] ? ?[7.00262293841857] ? ?[7.00262293841857] ? ?[7.00262293841857]
? ? [ ? ?2] ? ?[7.98750871859818] ? ?[7.98750871859818] ? ?[7.98750871859818]
? ? [ ? ?0] ? ?[10.1088290621578] ? ?[10.1088290621578] ? ?[10.1088290621578]

第2輛車的路徑

route1 =

? ? ?0 ? ? 4 ? ? 3 ? ?11 ? ?12 ? ?15 ? ? 0

運行時間表

outcell01 =?

? ? '路徑點' ? ?'到達時間' ? ? ? ? ? ? '開始服務時間' ? ? ? ? ?'結束時間' ? ? ? ??
? ? [ ? ?0] ? ?[ ? ? ? ? ? ? ? 0] ? ?[ ? ? ? ? ? ? ? 0] ? ?[ ? ? ? ? ? ? ? 0]
? ? [ ? ?4] ? ?[2.37065391822594] ? ?[2.37065391822594] ? ?[2.37065391822594]
? ? [ ? ?3] ? ?[4.07359255481858] ? ?[4.07359255481858] ? ?[4.07359255481858]
? ? [ ? 11] ? ?[6.90201967956477] ? ?[6.90201967956477] ? ?[6.90201967956477]
? ? [ ? 12] ? ?[8.57832514098879] ? ?[8.57832514098879] ? ?[8.57832514098879]
? ? [ ? 15] ? ?[10.3811007787208] ? ?[10.3811007787208] ? ?[10.3811007787208]
? ? [ ? ?0] ? ?[16.0131519148523] ? ?[16.0131519148523] ? ?[16.0131519148523]

第3輛車的路徑

route1 =

? ? ?0 ? ? 5 ? ? 0

運行時間表

outcell01 =?

? ? '路徑點' ? ?'到達時間' ? ? ? ? ? ? '開始服務時間' ? ? ? ? ?'結束時間' ? ? ? ??
? ? [ ? ?0] ? ?[ ? ? ? ? ? ? ? 0] ? ?[ ? ? ? ? ? ? ? 0] ? ?[ ? ? ? ? ? ? ? 0]
? ? [ ? ?5] ? ?[1.06301458127347] ? ?[1.06301458127347] ? ?[1.06301458127347]
? ? [ ? ?0] ? ?[2.12602916254693] ? ?[2.12602916254693] ? ?[2.12602916254693]

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