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E 題 AI輔助智能體測
《國家學生體質健康標準》的頒布，有效地促進了大中小學生關注自身體質健康的發展，激勵學生積極進行身體鍛煉。通過在體育場地周邊安裝攝像頭，可以對學生的體育動作進行實時捕捉，以便對學生的運動姿態進行分析。例如，在立定跳遠教學中，通過記錄并分析學生起跳瞬間的腿部發力動作、手臂擺動軌跡、身體騰空姿態以及落地姿勢等一系列身體變化的細節數據，可以幫助教師全面了解每個學生動作的優點和不足，從而給出針對性的改進方案。
通過攝像頭拍攝的圖像，利用AI人體姿態估計技術可以定位復雜場景中小尺度人體的關鍵點位置。基于AI的人體姿態識別算法，可以對運動者的姿態進行跟蹤，獲得人體關鍵節點在運動過程中不同幀的運動視頻和位置坐標信息。請建立數學模型，解決以下問題。
問題一、題意重述與數據理解
任務：給定兩位運動者的跳遠視頻與逐幀關鍵點坐標（共 33 個關鍵點），判定起跳時刻與落地時刻，并描述滯空階段（起跳至落地）的運動過程。
數據：附件 1 含“視頻 + 位置信息 + 成績”；位置信息為不同幀的 33 個關鍵點坐標（附件 2 給出關鍵點示意編號）。
目標輸出：
- 精確幀號/時間的起跳與落地時刻；
- 滯空階段的質心軌跡、速度/加速度、起跳角、初速度等運動學量及姿態演化（關節角、擺臂/屈髖策略）描述。
二、建模假設與坐標系 - 像素坐標系：視頻坐標 ((x,y)) 以右向為正 x、下向為正 y（常見圖像坐標），幀間隔 (\Delta t=1/f)（(f) 為幀率）。
- 平面近似：以 2D 關鍵點為主（若有多機位/深度可擴展至 3D，但本題以 2D 為主）。
- 質心（COM）近似：用關鍵點的加權平均近似人體質心（無體段權重時可先用等權平均，若有體段比例可引入 Dempster/De Leva 權重，作為進階）。
- 滯空階段氣動阻力忽略：COM 軌跡近似拋物線（像素尺度上仍成立）；地面對腳部的接觸判定由足部關鍵點運動學給出。
三、變量定義與數據結構
第 (t) 幀第 (i) 個關鍵點坐標：((x_{i,t},y_{i,t}))，(i=0,\dots,32)。
幀時間：(t=n\Delta t)，(n\in\mathbb{Z}{\ge0})。
質心：
等權近似：(\displaystyle x{COM,t}=rac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_{i,t},\quad y_{COM,t}=rac{1}{N}\sum_{i=1}^N y_{i,t})（(N=33)）。
加權近似：(\displaystyle x_{COM,t}=rac{\sum_i w_i x_{i,t}}{\sum_i w_i},\quad y_{COM,t}=rac{\sum_i w_i y_{i,t}}{\sum_i w_i})，(w_i) 為體段質量權重（可按段映射到關鍵點）。
數值微分：
其中 (s_) 可為 (x_{COM},y_{COM}) 或特定關鍵點坐標。
四、預處理與信號平滑
為降低關鍵點抖動與遮擋噪聲，建議：
- 置信度篩選（若數據含置信度 (c_{i,t})）：低于閾值的點用插值/上次有效值替代。
- 空值插補：分段線性/三次樣條。
- 平滑：Savitzky–Golay（窗長 (2k+1)、多項式階 (d)），或三次樣條/雙向移動平均，兼顧不滯后與導數穩定。
- 時間同步：如存在多流數據，先對齊至統一幀號。
五、起跳與落地的多源判定策略（核心）
5.1 足部接觸離地判據（主判據）
設左右腳關鍵點為 (\mathcal{F}L,\mathcal{F}R)（通常為“腳/踝/腳尖/腳跟”中的一個或多個；題給 33 點結構可由附件 2 對應到索引）。
組合足高：(\displaystyle y{foot,t}=rac{1}{2}ig(y{\mathcal{F}L,t}+y{\mathcal{F}_R,t}ig))。
像素坐標下 y 越大越靠下（近地）。
起跳（Takeoff）：從支撐期轉入騰空，表現為
- (y_{foot,t}) 在起跳前出現快速減小（腳上抬）——導數 (dy_{foot}/dt<0) 峰值；
- 與此同時，COM 豎直速度 (v_{y,COM}) 由向下轉為向上或達到向上峰值附近；
- 接觸指示（如腳部與地面距離增加/腳踝腳趾相對運動指示騰空）。
落地（Landing）：從騰空回到接觸，表現為 - (y_{foot,t}) 快速增大（腳下落）——導數峰值 (dy_{foot}/dt0)；
- (v_{y,COM}) 由上升轉為下降并在之后靠近 0；
- 足部與地面距離回到最小、足部速度驟降。
實現上，常用組合指標提高魯棒性：
在前半段取 (S_t) 的負峰（起跳），在后半段取正峰（落地）。并通過時序約束（落地時刻起跳時刻+最小飛行幀數）避免誤檢。
5.2 地面參考與閾值化（輔判據）
若能從視頻/場地標線估計出地面 y 坐標 (y_{ground})，則以
(\displaystyle d_{foot}(t)=y_{foot,t}y_{ground})
進行閾值化（如 (d_{foot}<arepsilon) 視為接觸），接觸非接觸的邊界即為起跳，非接觸接觸即為落地。
若無顯式地面，取跑道/坑邊緣等靜態像素線自動估計 (y_{ground})（RANSAC 擬合直線）或以腳跟/腳尖最小 y的運行最小值曲線作代理。
5.3 速度/能量一致性校驗
起跳幀附近：(v_{y,COM}) 應接近正峰前或從負轉正的過零點；
落地幀附近：(v_{y,COM}) 負向且接近谷值后回升；
水平方向：(v_{x,COM})（或髖 (v_{x,hip})）在滯空期近似常值。
六、滯空階段的動力學與幾何量提取
設檢測得起跳幀 (t_{to})、落地幀 (t_{ld})，滯空區間 (\mathcal{T}={t\mid t_{to}\le t\le t_{ld}})。
6.1 拋物線擬合（像素域）
對 ((t,y_{COM}(t))) 在 (\mathcal{T}) 內做二次擬合
有效“重力”像素加速度：(\hat g=2a)（像素標度 + 攝影幾何嵌入其中）。
飛行時間：(T=(t_{ld}t_{to})\Delta t)。
水平速度：(\displaystyle v_{0x}pprox rac{x_{COM}(t_{ld})x_{COM}(t_{to})}{(t_{ld}t_{to})\Delta t})（或線性擬合 (x_{COM}) 對 (t) 的斜率）。
起跳角（像素域近似）：
若能做尺度標定（如已知沙坑刻度/標線長度），將像素/幀米/秒，實現物理量化。
6.2 姿態時序（關節角）
以膝角為例，設髖膝踝三點為 \mathbf{H},\mathbf{K},\mathbf{A}：
滯空期內統計：
( heta_{knee}(t)) 的均值/極值/變化幅度；
手臂（肩–肘–腕）擺動角度與相位；
髖角（肩–髖–膝）反映屈髖抱膝策略。
七、可視化與結果呈現
- 足部 y–t 曲線（左右腳同圖），標注起跳/落地豎線；
- COM 高度 y–t 與擬合拋物線；
- COM 豎直/水平速度–t；
- COM 軌跡 x–y（像素平面）；
- 關鍵幀骨架圖（起跳瞬間、滯空最高點、落地瞬間）；
- 關節角–t（膝/髖/肩/肘）。
課堂演示時，建議將兩位運動員的對應曲線同軸對比，便于講評差異。
八、魯棒性、邊界情形與誤差來源
抖動與遮擋：用置信度篩選 + 插值 + 平滑；對于短時遮擋，優先使用相鄰關節的幾何一致性重建（如脛骨長度近似常數）。
相機傾斜/透視：建議在跑道/沙坑邊做單應性標定，把像素映射到“地面參考系”；至少做縱軸傾角校正，提高“高度/角度”解釋性。
幀率低：起落時刻可落在兩幀之間，報告幀級不確定度 (\pm0.5) 幀，并給出以 (\Delta t) 計的時間誤差帶。
不同人體比例：若使用等權 COM，會引入系統偏差；引入體段權重可減小誤差。
閾值選擇：足部接觸閾值、導數峰檢測閾值應通過留一交叉驗證在訓練組上確定，報告對閾值的靈敏度分析。
九、算法流程圖與代碼（可直接實現）
流程：數據讀入 置信度/缺失處理 平滑 計算足部/COM 時序量 一致性峰值檢測（起跳/落地） 滯空段擬合與參數估計 姿態角計算 可視化與報告。
代碼部分：
問題二
-
研究目標與數據概覽
目標：基于“糾正前/糾正后的姿態與成績”和“個體體質特征”，找出顯著影響跳遠成績的主要因素，并量化其重要性與邊際效應。
數據
附件3：若干運動者糾正前、教練糾正姿勢后的視頻+關鍵點坐標+成績（“成績提升可較大幅度出現”提供天然干預前后對照）。
附件4：運動者個人體質報告（年齡、身高、體重、體脂率、肌肉/骨骼肌重量、水分、蛋白等體成分指標）。 -
整體方法論路線
- 特征工程（從姿態時序+體質報告中提煉“可生物力學解釋”的中間變量）；
- 模型建構（多層/半參數/稀疏回歸 + 非線性樹模），做變量篩選與穩健性對照；
- 因果與對照設計（利用前后糾正的配對結構控制個體固定效應，估計“姿態糾正”的平均處理效應）；
- 可解釋性（標準化系數、Elastic Net稀疏選變量、GAM平滑項、XGBoost/GBDT的SHAP重要性與PDP曲線）；
- 穩健性檢驗（多重共線、留一被試交叉驗證、敏感性分析）。
- 特征工程（核心）
3.1 來自姿態時序（每次試跳，糾正前/后各一條記錄）
以問題一的流程為基礎（起跳/落地檢測、滯空段判定），從每條試跳的33關鍵點時序中得到運動學要素：
起跳/落地與飛行
滯空時間：
COM 初速度：，起跳角：
COM 拋物線擬合參數 與擬合殘差 RMSE（動作穩定性代理）
動力學代理（相對量）
助力擺臂幅度：滯空期上臂（肩–肘–腕）角度的峰谷差、擺動功率代理（角速度/角加速度 RMS）
下肢伸展與抱膝：膝角 、髖角 的最大伸展角、抱膝期的最小角、角度變化速率
身體前傾/軀干角：頸–髖–膝（或肩–髖–腳）構成的軀干俯仰角平均值與峰值
對稱與協調：左右臂/腿相位差、協方差（協調性度量）
時序到標量的匯總方式（對每條試跳）：
統計量：均值/最大/最小/極差/標準差/RMS/峰度/偏度
頻域要素：FFT 第一峰頻率與幅值（擺臂頻率）、能量分布比
形狀匹配：DTW 與“理想模板”的距離（高級但加分項）
以上每項都可明確映射到“力學/技術要點”，便于論文“機制解釋”。
3.2 來自體質報告（附件4）
體格：身高、體重、BMI、四肢相對比例（如可由身高估算，或來自姿態靜態幀）
體成分：體脂率、肌肉重量、骨骼肌重量、水分、蛋白、去脂體重、內臟脂肪等級等
綜合指數：肌脂比（肌肉重量/脂肪重量估計）、相對下肢肌量（若能分段更佳）
將體質指標與技術指標拼接成統一特征向量；對量綱差異做標準化（zscore）。
- 問題建模：兩類核心問題
4.1 “成績水平”的影響因素（橫截面/混合效應）
令第 個運動者在第 次試跳（前/后）成績為 （單位 cm），特征向量為 （包含姿態/運動學與體質），建立：
(a) 多元線性/稀疏回歸
標準化系數便于比較影響大小；
用 LASSO/Elastic Net 做變量篩選，處理共線與小樣本高維問題；
K 折交叉驗證選擇 。
(b) 半參數廣義可加模型（GAM）
用平滑函數 捕捉非線性（如體脂率與成績的非線性閾值效應）。
? 非線性集成模型（XGBoost/LightGBM）
獲取特征重要性與SHAP 值，可視化邊際效應（PDP/ICE）；
與線性系對比，驗證變量影響的穩健性。
(d) 分層/混合效應模型（控制個體異質性）
為個體隨機效應，吸收先天差異與未觀測特質。
4.2 “成績提升”的影響因素（配對/因果角度）
利用糾正前—后的配對結構，分析“姿態改變”帶來的成績增益 。
(a) 配對差分回歸（控制個體固定效應）
是糾正后?糾正前的技術變量變化（如 擺臂幅度、抱膝角等）；
這樣剝離了個體不變的體質與先天差異，直擊“技術調整”的邊際貢獻。
(b) 處理效應（是否被“糾正”+糾正幅度）
若部分被試“糾正強度”不同，可引入二值/強度處理 與交互項：
近似平均處理效應， 則刻畫“糾正與關鍵技術變量的交互”。
5. 候選“主要因素”清單（從理論與實踐出發）
技術/姿態（強相關候選）
- 起跳角 與初速度分解 ：起跳角過小→垂直滯空不足；過大→水平位移損失；一般存在最優角附近的非線性。
- 擺臂貢獻：擺臂幅度與速度（角速度/角加速度），與 的提升相關；
- 下肢伸展與抱膝：起跳瞬間的髖膝踝伸展幅度、滯空期抱膝角度與時機，影響滯空姿態與落地觸地點；
- 軀干前傾與身體重心前移策略：影響 與落地區域；
- 動作穩定性：COM 軌跡擬合殘差/角度波動（小→穩定）。
體質/體成分（中強相關候選）
6) 身高/下肢比例：影響擺動半徑、可實現的 ；
7) 肌肉量/骨骼肌重量：與爆發力、伸髖伸膝能力相關；
8) 體脂率：過高→相對力量下降，過低→不一定劣但可能與肌量不足相關，呈U 形或閾值效應；
9) 體重：以相對力量（如力量/體重或肌肉/體重）更合理；
10) 水分/蛋白/去脂體重：反映肌肉狀態與疲勞水合，對當日表現有邊際影響。
-
變量選擇與可解釋性
篩選路徑：先用Elastic Net（處理共線）→ 得到一組稀疏主因子；
用 GAM / XGBoost 檢查非線性與交互（如 ×體脂率）；
重要性報告：
線性：標準化回歸系數 排名；
樹模：SHAP 值 TopN 排名，給出PDP（邊際效應曲線）；
配對差分模型： 技術變量系數 的顯著性與效應量。 -
統計檢驗與穩健性
交叉驗證：K 折（或留一被試）驗證泛化；
多重共線：VIF 檢查，必要時做 PCA 降維；
敏感性分析：刪去極端樣本/低置信度幀重算；改變平滑窗長/閾值看結論是否穩定；
Ablation：僅用體質→僅用技術→二者合并，比較 /MAE/IC（秩相關）；
異方差與穩健標準誤：White/HC 標準誤；
多重比較：必要時 FDR 校正。
8. 結果呈現建議（論文/答辯）
表1：變量定義與物理含義（體質 vs 技術）
表2：主要模型的回歸系數/顯著性/標準化系數
圖1：糾正前后成績箱線圖與提升分布（）
圖2：SHAP 全局重要性條形圖（Top10 因素）
圖3：關鍵變量的 PDP 曲線（、體脂率、擺臂幅度…）
圖4： 對 的散點回歸（配對差分）
圖5：Ablation 對比條形圖（僅體質/僅技術/合并）
可復現實現代碼
后續都在”數模加油站“…
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