將具有N 個控制點的三次B樣條曲線轉換為多段三階Bezier曲線，是計算機圖形學和CAD系統中常見的操作。這種轉換基于B樣條曲線的局部性質以及其與Bezier曲線之間的關系。

基本原理

三次B樣條曲線由一組控制點 P?, P?, ..., P??? 和一個節點向量 U = {u?, u?, ..., u?} 定義，其中 m = N + k + 1 = N + 4（對于三次樣條，次數 k=3）。每一段B樣條曲線在非重復節點區間上可以被表示為一段三階Bezier曲線。

關鍵在于：在每個非重復的節點區間 [u?, u???) 上，B樣條曲線的一段可以通過局部細分（例如使用Boehm's算法或插入節點）轉化為一段Bezier曲線。具體地，當節點向量是均勻或開放均勻的情況下，可以通過提取每段的控制點來直接獲得對應的Bezier控制點。

轉換步驟

1. 確保節點向量為開放均勻節點向量（Open Uniform Knot Vector）

   開放均勻節點向量的形式為：

   u? = u? = u? = u? = 0, u?, u?, ..., u???, u? = u??? = u??? = u??? = 1

   其中內部節點 u? 到 u??? 是均勻分布的。

2. 確定B樣條段的數量

   對于開放均勻節點向量，有效的B樣條段數量為 N - 3。每個段對應一個三階Bezier曲線。

3. 提取每段的Bezier控制點

   對于第 i 段（i 從 0 到 N-4），其對應的三階Bezier曲線的控制點 B?^(i), B?^(i), B?^(i), B?^(i) 可以通過以下公式計算：

   B?^(i) = P?
   B?^(i) = P? + (P??? - P?) × (u??? - u???) / (u??? - u???)
   B?^(i) = P??? - (P??? - P???) × (u??? - u???) / (u??? - u???)
   B?^(i) = P???

   在均勻節點情況下，u??? - u??? = u??? - u??? = u??? - u??? = Δu，因此可以簡化為：

   B?^(i) = P?
   B?^(i) = (3P? + P???) / 4
   B?^(i) = (P??? + 3P???) / 4
   B?^(i) = P???

   注意：上述簡化公式僅適用于均勻節點向量且無重節點的情況。

4. 生成多段Bezier曲線

   每一段 i 的控制點 B?^(i), B?^(i), B?^(i), B?^(i) 定義了一個三階Bezier曲線：

   B^(i)(t) = (1-t)3B?^(i) + 3(1-t)2tB?^(i) + 3(1-t)t2B?^(i) + t3B?^(i), t ∈ [0,1]

   將所有段連接起來，即可得到完整的B樣條曲線的Bezier表示。

總結

通過上述方法，可以將一個N個控制點的三次B樣條曲線分解為 N-3 段三階Bezier曲線。這種方法在需要Bezier曲線特性的應用中非常有用，例如在某些渲染引擎或動畫系統中。