概率多維隨機變量與分布

一、二維

1、二維隨機變量及其分布

????????假設E是隨機試驗，Ω是樣本空間，X、Y是Ω的兩個變量；(X,Y)就叫做二維隨機變量或二維隨機向量。X、Y來自同一個樣本空間。

????????聯合分布函數 F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)，即F(x,y)表示求(x,y)左下方的面積。 F(x,y) 不減，例如：y固定，x1<x2，F(x1,y)<F(x2,y)；F(x,y)分別關于x和y右連續。

????????對于 $x_1$ < $x_2$ ， $y_1$ < $y_2$ ?存在 P( $x_1$ < X ≤? $x_2$ ， $y_1$ ?<Y ≤? $y_2$ ) = F( $x_2$ , $y_2$ ) - F( $x_2$ , $y_1$ )-F( $x_1$ , $y_2$ )+F( $x_1$ , $x_2$ )

P( $x_1$ < X ≤? $x_2$ ， $y_1$ ?<Y ≤? $y_2$ ) 如左下圖表示，等號右邊則是圖中四塊區域的代表。

2、二維離散型隨機變量的聯合分布和邊緣分布

????????邊緣分布?是表示在所有可能的一個變量值上，獲取另一個變量的概率之和

X的邊緣分布： $F_X$ (x) = P(X ≤ x) = F(x,+∞) = P(X≤x,Y<+∞)

Y的邊緣分布： $F_Y$ (y) = P(Y ≤ y) = F(+∞,y) = P(X<+∞,Y≤y)

????????聯合概率質量函數 P(X=x,Y=y) 描述了隨機變量 X 和 Y 同時取特定值 x 和y 的概率。所有可能的 x 和 y 值的概率之和等于1。

3、二維連續隨機變量的聯合密度和邊緣密度函數

????????F(x,y) = P(X≤x,Y≤y) = $\int_{-\infty}^x$ $\int_{-\infty}^y$ ? ?f(s,t) ds dt? 函數就是對所有的x,y進行積分求和。

例如：?已知聯合密度函數，求分布函數F(x,y)

解：帶入分布函數公式： $\int_{-\infty}^x$ $\int_{-\infty}^y$ ? ?f(s,t) ds dt =? $\int_{0}^x$ $\int_{0}^y$ ? $e^{-(x+y)}$ ?dx dy =? $\int_{0}^x$ ? $e^{-x}$ ?dx? $\int_{0}^y$ $e^{-y}$ ?dy =(1- $e^{-x}$ )(1- $e^{-y}$ )? ;因為聯合密度函數定義域為x,y都大于0，所以積分時只需要大于0即可

????????邊緣密度函數 直接將另一個變量積分部分等價于（x,+ $\infty$ ），則剩下部分為另一個變量的邊緣密度函數。

二、條件分布

1、基礎定義

????????已知另一個隨機變量或事件的條件下，該隨機變量的概率分布：F(x|A)=P(X $\leq$ ?x | A)

例如：概率密度函數如圖，求在X>1的條件下f(x)的條件分布函數

解：F(x | X>1) = P(X $\leq$ ? x|X>1)=P(X $\leq$ ?x,X>1)/ P(X>1)

求分子：P(1 $\leq$ X $\leq$ ? x) =? $\int _1^x$ ?1/ $\pi(1+x^2)$ ? dx? = 1/ $\pi$ ?*?arctan(x)? $|_1^x$ ?=?arctan(x)/ $\pi$ ?- 1/4

求分母：P(X>1) =? $\int _1^\infty$ ?1/ $\pi(1+x^2)$ ??= 1/ $\pi$ ?*?arctan(x)? $|_1^\infty$ ?= 1/ $\pi$ ?*? $\pi$ /2 -?1/ $\pi$ ?*? $\pi$ /4 = 1/4

則整個結果為（arctan(x)/ $\pi$ ?- 1/4）/1/4=arctan(x)/ $\pi$ ?-1

2、離散型隨機變量的條件分布

????????從分布表來理解

X\Y	0	1
0	0.1	0.3
1	0.3	0.3

P(Y=y) 是 Y 的邊緣概率質量函數，Y 的邊緣概率質量函數是對列求和：

Y	0	1
P	0.4	0.6

?那么在Y=1的條件下，假設x=0，X=x的概率為：?P(X=0∣Y=1)=03/0.6 =0.5；假設x=1，X=x的概率為 P(X=1∣Y=1)=0.3/0.6=0.5

3、連續型隨機變量的條件分布

????????Y=y條件下，條件概率密度函數為： f(x∣y)=f(x,y) / $f_Y$ (y)；同理X=x條件下：f(y∣x)=f(x,y) /? $f_X$ (x)。其中 $f_Y$ (y) 、 $f_X$ (x) 是邊緣函數。

例如：假設?

解：f(x|y) =?f(x,y) / $f_Y$ (y) = 1/ $\pi^2$ (1+ $x^2$ )(1+ $y^2$ )? /? 1/ $\pi$ (1+ $y^2$ ) =??1/ $\pi^2$ (1+ $x^2$ )

f(y|x) =?f(x,y) / $f_X$ (x) = 1/ $\pi^2$ (1+ $x^2$ )(1+ $y^2$ )? /? 1/ $\pi$ (1+ $x^2$ ) =??1/ $\pi^2$ (1+ $y^2$ )

三、隨機變量獨立性

? ? ? ? 概率密度函數f(x,y)可以表示為各自邊緣概率密度函數的乘積：

????????離散型 ：P(X=x,Y=y)=P(X=x)?P(Y=y)

????????連續型：f(x,y)= $f_X$ (x)? $f_Y$ (y)

四、二維隨機變量函數的分布

1、離散型

第一步：列出所有x與y結合的取值點 (例如：z=x+y)

第二步：根據聯合概率質量函數 P(X=x,Y=y) 求z的值分布及其概率

第三步；全部z點相加驗證是否等于1

例如：

假設有兩個離散型隨機變量 XX 和 YY，它們的聯合PMF如下表所示：

X \ Y	1	2	3
1	0.1	0.2	0.0
2	0.0	0.3	0.0
3	0.1	0.1	0.2

?第一步：列出所有z點（P(1,1) ,P(1,2),P(1,3),P(2,1),P(2,2),P(2,3),P(3,1),P(3,2),P(3,3)

第二步：根據點得到對應概率，并根據（z=x+y）的求得Z點數值

Z2=P(1,1) =? 0.1

Z3=P(1,2)+P(2,1) = 0.2+0.0 = 0.2

Z4=P(1,3)+P(2,2)+P(3,1) =0.0+0.3+0.1=0.4

Z5=P(2,3)+P(3,2)=0.0+0.1=0.1

Z6=P(3,3)=0.2

第三步：根據得到所有點概率進行求和驗證 Z2+Z3+Z4+Z5+Z6 =0.1+0.2+0.4+0.1+0.2=1

2、連續型

第一步：明確要求需要什么函數（分布函數、概率密度函數）

第二步：根據聯合密度函數進行（x,y）積分得到分布函數，在進行求導得到z的概率密度函數

$F_Z$ (z)= P(Z ≤ z)=P ( g(X,Y) ≤z ) = $\int$ $\int_{g(x,y)}$ ≤z? f(x,y) dx dy ;? $f_Z$ ?(z)=d/dz * $F_Z$ (z)

例如：假設 (X,Y) 的聯合概率密度函數為下圖，求Z=X+Y的分布

解：

第一步：求分布函數，根據z=x+y? 以及函數信息得到 z在(x,y)的分布 => 直角坐標系點（1，1）、（1，0）、（0，1）、（0，0），四個點所在的長方形，線條z=x+y 也就是點（2，0）、（0，2）、（0，0）三點的三角形區域，兩塊面積的區域交集部分就是z在直角坐標系的投影;根據x,y的值獲得z的分布區間（0，2），由于z在（0，1）區間是符合x,y的區間隨意落地，可以直接使用積分函數求解；z在（1，2）區間內只能在長方形減去右上三角面積的結果

第二步：對（0，1）進行積分：根據?聯合密度函數進行積分布函數?? $F_Z$ (z)= P(Z ≤ z)=P ( g(X,Y) ≤z ) = $\int$ $\int_{g(x,y)}$ ≤z? f(x,y) dx dy =? $\int_0^z$ ?dx? $\int_0^{z-x}$ ?2 dy =? $\int_0^z$ ?2y $| _0^{z-x}$ dx = $\int_0^z$ ?2(z-x) dx =2zx - $x^2$ ? $| _0^{z}$ ?= $z^2$

? ? ? ? ? ? ? 對（1，2）：由于是得到面積，所以不需要積分為 1- ${(2-z)}^2$ /2?

第三步：匯總結果形成分布函數?

總結：連續型可直接根據圖形面積匯總（x和y的隨意分布形狀與聯合函數區域不一致），若在一致情況下可求面積也可以求積分得到分布函數，再根據分布函數求導得到概率密度函數。

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