引言

前序學習進程中，了解了向量、向量點積運算、超平面、感知機等知識點。
SVM算法最核心的目標是通過規劃租號的分割超平面，來使得超平面附近的點到超平面的距離和達到最大值。
那點和超平面的距離如何計算，就是今天學習的重點。

點與超平面的距離

前述學習進程中，已知超平面的常規表達為：$$w?x+b=0$$

對于任何一個點(x,y)，實際上可以直接帶入上式，定義：$$\beta =w?x+b$$
當點(x,y)位于平面上時，顯然會有β=0，其余情況β≠0。
當超平面確定，對于數據集中的每個點，都要計算β，并且取最小的β為點到超平面的距離，也就是取最近的點；
對于多個超平面，會獲得多個β，取最大β對應的超平面為最佳分割超平面。
**但當β<0時，絕對值越大的β實際上距離越遠，但在數學的對比中反而越小，這就導致最近的點實際上取成了最遠的點，也就是取到錯誤的點。
為此，一個新的最近點判斷依據出現，函數間隔F：$$F=\underset{i=\mathrm{1...}m}{\min }{y}_i(w?x_i+b)$$
當F>0，表明點的位置分類正確；
當F<0，表明點的位置分類錯誤。
這里可以對上述判別進行說明：
當超平面是一條線的時候，對于一個在超平面上的點(x0,y0)，一定滿足超平面的常規表達式：$$\beta =w?x=w_1{x}_0+w_2{y}_0+b=0=w_1{x}_0?y_0+b=0$$
當一個點不在超平面上，取d>0：
有點(x0,y1)，且滿足y1=y0+d，點在分割線的上方，此時代入超平面的常規表達式會有：
$$\beta =w?x=w_1{x}_0+w_2{y}_1+b=0=w_1{x}_0?y_1+b=?d<0$$
如果y0>0，則F<0，與β<0一致，容易把最近的點取成最遠的點，出現分類錯誤；
如果y0<0，且y1>0，則F<0，與β<0一致，容易把最近的點取成最遠的點，出現分類錯誤;
如果y0<0，且y1<0，則F>0，與β<0相反，且F=-d(y0+d)，F越大，偏離超平面的距離也就越遠，所以此時不會犯分類錯誤;
當一個點不在超平面上，取d>0：
有點(x0,y1)，且滿足y1=y0-d，點在分割線的下方，此時代入超平面的常規表達式會有：
$$\beta =w?x=w_1{x}_0+w_2{y}_1+b=0=w_1{x}_0?y_1+b=d>0$$
如果y0>0，且y1>0，則F>0，與β>0一致，且F=d(y0-d)，F越大，偏離超平面的距離也就越遠，所以此時不會犯分類錯誤；
如果y0>0，且y1<0，則F<0，與β>0相反，容易把最近的點取成最遠的點，出現分類錯誤；
如果y0<0，則F<0，與β>0相反，容易把最近的點取成最遠的點，出現分類錯誤。

總結

學習了點與超平面的距離的計算。