旋轉不變子空間( ESPRIT) 算法

1.1 ESPRIT 算法模型

以均勻線陣為研究背景，假設有陣元數為，陣元間距為的平面等間距線性天線陣列。設窄帶遠場信號的 DOA 估計的數學模型為 (1)

式中，為陣列流型陣( 導向矢量陣) 。

1.2 ESPRIT 算法原理

ESPRIT 算法的概念是由Roy和Kailath提出的。將陣列分成兩個相同的子陣列。由于兩個子陣的結構完全相同，對于同一個信號而言，兩個子陣的輸出只有一個相位差。下面假設兩個子陣的接收數據如下:

(2)

(3)

子陣1的陣列流型 ，子陣2的陣列流型。

從上面的數學模型可知，需要求解的是信號的方向，而信號的方向信息包含在和中，由于是一個對角陣，所以下面只考慮這個矩陣，即：

(4)

由上可知，只要得到兩個子陣間的旋轉不變關系，就可以方便得到關于信號到達角的信息。下面的任務就是從式(2)和(3)中得到兩個子陣間的關系。先將兩個子陣的模型進行合并，即，

(5)

在理想條件下，可得上式的協方差矩陣:

(6)

對上式進行特征分解，可得:

(7)

此時，存在一個惟一的非奇異矩陣，使得:

(8)

顯然上述的結構對兩個子陣都成立，所以有:

(9)

此時可知兩個子陣的信號子空間的關系如下:

(10)

如果陣列流型是滿秩矩陣，則由式( 10) 可以得到:

(11)

所以上式中的特征值組成的對角陣一定等于，而矩陣的各列就是矩陣的特征矢量。所以一旦得到上述的旋轉不變關系矩陣，就可以直接利用式（4）得到信號的入射角度。這正是 ES-PRIT 研究中的核心關系。

1.3 ESPRIT****算法實現

1.3.1 LS－ESPRIT 算法

直接給出LS的旋轉不變子空間算法的步驟:

① 兩個子陣的接收數據，分別得到兩個子陣的數據協方差矩陣。

② 將矩陣對進行特征分解，從而得到兩個數據矩陣的信號子空間和。

③ 按照得到矩陣，然后對其進行特征值分解，得到個特征值就可以得到對應的個信號的波達方向。

1.3.2 TLS－ESPRIT 算法

TLS ESPRIT 求解 DOA 的算法步驟:

① 兩個子陣的接收數據，得到數據協方差矩陣。

② 將矩陣對進行特征分解，從而得到兩個數據矩陣的信號子空間 。

③ 由構造矩陣 ，并按照式 進行特征值分解得到矩陣，然后按照式將矩陣分為4個小的矩陣。

④ 按照式 得到矩陣，然后對其進行特征值分解，得到個特征值就可以得到對應的個信號的波達方向。

1.3.3 TAM 算法

Toeplitz 近似簡稱 TAM 算法，其求解的準則是利用了空間的旋轉不變性，也可以看成為 ESPRIT算法中的一種。下面就介紹其基本實現步驟:

① 數據協方差矩陣得到信號子空間及其特征值。

② 按式構造矩陣，從而進一步得到的前行與后行構成的矩陣和。

③ 按照式 得到矩陣。其中 是的前行，是的后行。

④ 對矩陣進行特征分解，由特征值就可以得到對應的個信號的到達角。

總結上述所說，可以得到ESPRIT算法的流程圖，如圖所示。
ls_esprit算法和tls_esprit算法matlab仿真