向量外積與秩1矩陣的關系

flyfish

向量外積是構造秩1矩陣的基本工具，其本質是用兩組向量的線性組合刻畫矩陣的行和列相關性；
任意秩1矩陣必可表示為外積，而低秩矩陣（秩 $k$ ）可分解為 $k$ 個外積矩陣的和，這正是低秩分解通過“基向量組合”壓縮矩陣信息的核心原理。
從代數角度，秩1矩陣必為兩個向量的外積 $\boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^T$ ，其結構由兩個向量唯一確定；
從幾何角度，秩1矩陣對應“將任意向量投影到 $\boldsymbol{u}$ 方向的線性變換”，其變換效果僅由 $\boldsymbol{u}$ （像空間方向）和 $\boldsymbol{v}$ （投影系數）決定。
這種分解是低秩分解的基礎，例如矩陣的奇異值分解（SVD）中，秩1矩陣是構成任意矩陣的“原子單元”。

一、向量外積的定義與幾何意義

1. 向量外積的定義
設兩個列向量 $\mathbf{u} \in \mathbb{R}^m$ 和 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ ，其外積（Outer Product）定義為矩陣乘法：
$\mathbf{u} \mathbf{v}^T = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 & v_2 & \cdots & v_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1v_1 & u_1v_2 & \cdots & u_1v_n \\ u_2v_1 & u_2v_2 & \cdots & u_2v_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ u_mv_1 & u_mv_2 & \cdots & u_mv_n \end{pmatrix}$

外積的結果是一個 $\times n$ 的矩陣，其每個元素為 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 對應元素的乘積。
對比內積（點積）： $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u}^T\mathbf{v} = \sum_{i=1}^m u_i v_i$ ，結果是一個標量；而外積結果是矩陣。

2. 外積矩陣的關鍵性質
以二維向量為例，設 $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ ， $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ ，則外積為：
$\mathbf{u}\mathbf{v}^T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac & ad \\ bc & bd \end{pmatrix}$

觀察矩陣結構：每一行都是 $\mathbf{v}^T$ 的倍數（第一行是 $a\mathbf{v}^T$ ，第二行是 $b\mathbf{v}^T$ ），即行向量線性相關；
每一列都是 $\mathbf{u}$ 的倍數（第一列是 $c\mathbf{u}$ ，第二列是 $d\mathbf{u}$ ），即列向量線性相關。

二、秩1矩陣的定義與性質

1. 矩陣秩的定義
矩陣的秩是其線性無關的行向量（或列向量）的最大數量。若一個 $\times n$ 矩陣 $\mathbf{A}$ 的秩為 1，則：

所有行向量都是某一非零行向量的標量倍數；
所有列向量都是某一非零列向量的標量倍數。

2. 秩1矩陣的核心特征
設 $\mathbf{A}$ 是秩1的 $\times n$ 矩陣，則存在非零向量 $\mathbf{u} \in \mathbb{R}^m$ 和 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ ，使得 $\mathbf{A} = \mathbf{u}\mathbf{v}^T$ 。

三、原理證明：任意秩1矩陣可表示為外積

步驟1：利用秩1矩陣的行向量線性相關
設 $\mathbf{A}$ 的秩為 1，且其第一行 $\mathbf{r}_1 \neq \mathbf{0}$ ，則其他行 $\mathbf{r}_i$ 可表示為 $\mathbf{r}_i = k_i \mathbf{r}_1$ （ $k_i$ 為標量）。
令 $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_m \end{pmatrix}$ ， $\mathbf{v}^T = \mathbf{r}_1$ ，則：
$\mathbf{u}\mathbf{v}^T = \begin{pmatrix} 1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_m \end{pmatrix} \mathbf{r}_1 = \begin{pmatrix} \mathbf{r}_1 \\ k_2\mathbf{r}_1 \\ \vdots \\ k_m\mathbf{r}_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{r}_1 \\ \mathbf{r}_2 \\ \vdots \\ \mathbf{r}_m \end{pmatrix} = \mathbf{A}$

步驟2：示例驗證
設秩1矩陣 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ -1 & -2 & -3 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$ ，觀察行向量：

第二行是第一行的 $-\frac{1}{2}$ 倍，第三行是第一行的 $\frac{3}{2}$ 倍。
取第一行作為 $\mathbf{v}^T = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$ ，系數向量 $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix}$ ，則：
$\mathbf{u}\mathbf{v}^T = \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ -1 & -2 & -3 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} = \mathbf{A}$

四、從外積到低秩分解的本質理解

1. 秩1矩陣的“基向量”意義
外積 $\mathbf{u}\mathbf{v}^T$ 可理解為：

列向量 $\mathbf{u}$ 定義了矩陣的“方向”（所有列都是 $\mathbf{u}$ 的線性組合）；
行向量 $\mathbf{v}^T$ 定義了矩陣的“權重”（所有行都是 $\mathbf{v}^T$ 的線性組合）。
因此，秩1矩陣本質上是用兩個向量的外積來“壓縮”矩陣信息，僅保留一組基向量的線性組合。

2. 低秩分解的推廣（以秩k矩陣為例）
任意秩 $k$ 的矩陣 $\mathbf{A}$ 可分解為 $k$ 個秩1矩陣的和：
$\mathbf{A} = \sum_{i=1}^k \mathbf{u}_i\mathbf{v}_i^T$
其中 $\{\mathbf{u}_i\}$ 和 $\{\mathbf{v}_i\}$ 分別為列向量和行向量組。這等價于用 $k$ 組外積矩陣的線性組合近似表示 $\mathbf{A}$ ，而原始矩陣的秩為 $k$ ，即其信息可由 $k$ 組基向量刻畫。

五、簡單示例：秩2矩陣的外積分解

設矩陣 $\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}$ ，先求其秩：

前兩行線性相關（第二行是第一行的2倍），第三行與前兩行線性無關，故 $\text{rank}(\mathbf{B}) = 2$ 。

分解步驟：

取前兩行構成秩1矩陣 $\mathbf{B}_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \mathbf{u}_1\mathbf{v}_1^T$ ，其中 $\mathbf{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ ， $\mathbf{v}_1^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ ；
剩余部分為 $\mathbf{B} - \mathbf{B}_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} = \mathbf{u}_2\mathbf{v}_2^T$ ，其中 $\mathbf{u}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ ， $\mathbf{v}_2^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}$ ；
最終分解： $\mathbf{B} = \mathbf{u}_1\mathbf{v}_1^T + \mathbf{u}_2\mathbf{v}_2^T$ 。

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