量化交易之數學與統計學基礎2.4——線性代數與矩陣運算 | 矩陣分解

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第二部分：線性代數與矩陣運算
第4節：矩陣分解：奇異值分解（SVD）在數據壓縮和風險分解的應用

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一、奇異值分解（SVD）基礎：矩陣的“積木分解”

奇異值分解是一種強大的矩陣分解方法，它可以將任意矩陣分解為三個矩陣的乘積，為數據處理和分析提供了有力的工具。

1. 數學定義

對于一個 $m\times n$ 的矩陣 $\mathbf{A}$，其奇異值分解可以表示為：
$$\mathbf{A}=\mathbf{U\Sigma }{\mathbf{V}}^T$$
其中，$\mathbf{U}$ 是 $m\times m$ 的正交矩陣（${\mathbf{U}}^T\mathbf{U}={\mathbf{I}}_m$），其列向量稱為左奇異向量；$\mathbf{\Sigma }$ 是 $m\times n$ 的對角矩陣，對角線上的元素 ${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge ?\ge {\sigma }_r>0$ 稱為奇異值，$r=\text{rank}(\mathbf{A})$；$\mathbf{V}$ 是 $n\times n$ 的正交矩陣（${\mathbf{V}}^T\mathbf{V}={\mathbf{I}}_n$），其列向量稱為右奇異向量。

2. 求解方法

通常可以通過計算 ${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}$ 的特征值和特征向量來得到 $\mathbf{V}$ 和 $\mathbf{\Sigma }$，然后通過 $\mathbf{AV}=\mathbf{U\Sigma }$ 計算 $\mathbf{U}$。在實際應用中，可以使用數值計算庫（如 NumPy）來高效地完成 SVD 分解。

二、數據壓縮：用 SVD 減少數據存儲與計算成本

在量化交易中，我們經常需要處理大規模的數據矩陣，如歷史價格數據、因子暴露矩陣等。SVD 可以幫助我們對這些數據進行壓縮，減少存儲和計算成本。

1. 低秩近似

矩陣 $\mathbf{A}$ 的 SVD 分解中，奇異值 ${\sigma }_i$ 反映了矩陣的重要信息。通常，大部分重要信息集中在前面幾個較大的奇異值上。因此，我們可以只保留前 $k$ 個奇異值（$k<r$），得到矩陣 $\mathbf{A}$ 的低秩近似：
$${\mathbf{A}}_k={\mathbf{U}}_k{\mathbf{\Sigma }}_k{\mathbf{V}}_k^T$$
其中，${\mathbf{U}}_k$ 是 $\mathbf{U}$ 的前 $k$ 列，${\mathbf{\Sigma }}_k$ 是 $\mathbf{\Sigma }$ 的前 $k$ 個奇異值構成的 $k\times k$ 對角矩陣，${\mathbf{V}}_k$ 是 $\mathbf{V}$ 的前 $k$ 列。

2. 量化應用

• 歷史數據存儲：對于歷史價格數據矩陣，通過 SVD 壓縮可以減少存儲空間，同時保留大部分重要信息。
• 因子數據處理：在多因子模型中，對因子暴露矩陣進行 SVD 壓縮，可以減少因子數量，提高計算效率。

三、風險分解：用 SVD 剖析投資組合的風險來源

在投資組合管理中，了解投資組合的風險來源至關重要。SVD 可以幫助我們將投資組合的風險分解為不同的風險因子。

1. 風險矩陣分解

假設投資組合的協方差矩陣為 $\mathbf{\Sigma }$，對其進行 SVD 分解：
$$\mathbf{\Sigma }=\mathbf{U\Lambda }{\mathbf{U}}^T$$
其中，$\mathbf{\Lambda }$ 是對角矩陣，對角線上的元素是 $\mathbf{\Sigma }$ 的特征值，$\mathbf{U}$ 是特征向量矩陣。每個特征值對應一個風險因子，特征向量表示投資組合在該風險因子上的暴露。

2. 風險貢獻分析

通過 SVD 分解，我們可以計算每個風險因子對投資組合總風險的貢獻。例如，第 $i$ 個風險因子的風險貢獻可以表示為：
$$R{C}_i=w^T{\mathbf{U}}_i{\lambda }_i{\mathbf{U}}_i^{T}w$$
其中，$w$ 是投資組合的權重向量，${\mathbf{U}}_i$ 是第 $i$ 個特征向量，${\lambda }_i$ 是第 $i$ 個特征值。

四、投資組合優化：用 SVD 尋找最優投資組合

投資組合優化的目標是在給定的風險水平下最大化投資組合的收益，或者在給定的收益水平下最小化投資組合的風險。SVD 可以幫助我們在優化過程中處理高維的協方差矩陣。

1. 優化問題

經典的馬科維茨投資組合優化問題可以表示為：
$$\underset{w}{\min }{w}^T\mathbf{\Sigma }w\text{s.t.}{w}^T\mu =r_p,w^{T}1=1$$
其中，$w$ 是投資組合的權重向量，$\mathbf{\Sigma }$ 是協方差矩陣，$\mu$ 是預期收益率向量，$r_p$ 是目標收益率。

2. SVD 輔助優化

通過對協方差矩陣 $\mathbf{\Sigma }$ 進行 SVD 分解，可以將優化問題轉化為低維空間中的問題，減少計算復雜度。同時，SVD 可以幫助我們處理協方差矩陣的病態問題，提高優化結果的穩定性。

五、Python 實踐：用 SVD 進行數據壓縮和風險分解

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 生成模擬數據矩陣（100 行，20 列）
np.random.seed(42)
A = np.random.randn(100, 20)# 1. SVD 分解
U, Sigma, Vt = np.linalg.svd(A)# 2. 數據壓縮：保留前 5 個奇異值
k = 5
U_k = U[:, :k]
Sigma_k = np.diag(Sigma[:k])
Vt_k = Vt[:k, :]
A_k = U_k @ Sigma_k @ Vt_k# 3. 可視化原始矩陣和壓縮后的矩陣
plt.figure(figsize=(12, 5))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.imshow(A, cmap='hot', interpolation='nearest')
plt.title('原始矩陣')
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.imshow(A_k, cmap='hot', interpolation='nearest')
plt.title(f'壓縮后的矩陣（保留 {k} 個奇異值）')
plt.show()# 4. 風險分解：假設 A 是協方差矩陣
eigenvalues = Sigma**2
total_risk = np.sum(eigenvalues)
risk_contributions = eigenvalues / total_risk# 可視化風險貢獻
plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.bar(np.arange(len(risk_contributions)), risk_contributions)
plt.xlabel('風險因子')
plt.ylabel('風險貢獻')
plt.title('風險因子的風險貢獻')
plt.show()

本節總結

• 奇異值分解是一種強大的矩陣分解方法，可以將任意矩陣分解為三個矩陣的乘積。
• 在數據壓縮方面，SVD 可以通過低秩近似減少數據存儲和計算成本。
• 在風險分解和投資組合優化中，SVD 可以幫助我們剖析投資組合的風險來源，處理高維協方差矩陣，提高優化結果的穩定性。