天線陣列波束成形原理詳解與仿真實戰

1. 引言

在無線通信、雷達和聲學系統中，波束成形（Beamforming）是一種通過調整天線陣列中各個陣元的信號相位和幅度，將電磁波能量集中在特定方向的技術。其核心目標是通過空間濾波增強目標方向的信號，同時抑制干擾和噪聲。本文將從陣列模型、波束成形原理、數學推導及波束增益計算等方面展開詳細分析。

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2. 天線陣列模型

2.1 均勻線性陣列（ULA）

假設一個由$N$個各向同性陣元組成的均勻線性陣列（Uniform Linear Array, ULA），陣元間距為$d$。以第一個陣元為參考點，第$n$個陣元的位置為：
$$x_n=(n?1)d(n=1,2,\dots ,N)$$

2.2 遠場假設

當信號源距離陣列足夠遠時，入射波可視為平面波。假設信號入射方向與陣列法線方向的夾角為$\theta$，則相鄰陣元間的相位差為：
$$\Delta ?=\frac{2\pi d\sin \theta }{\lambda }$$
其中$\lambda$為波長。

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3. 波束成形的基本原理

3.1 陣列響應向量

對于入射角度$\theta$，陣列的響應向量（導向向量）為：
$$\mathbf{a}(\theta )={\left[1,e^{j\Delta ?},e^{j2\Delta ?},\dots ,e^{j(N?1)\Delta ?}\right]}^T$$

3.2 加權合成

通過為每個陣元分配復權重$w_n$，合成輸出信號為：
$$y(t)={\mathbf{w}}^H\mathbf{x}(t)=\sum _{n=1}^N{w}_n^{?}{x}_n(t)$$
其中$\mathbf{w}=[w_1,w_2,\dots ,w_N{]}^T$為權重向量，$\mathbf{x}(t)$為接收信號向量。

3.3 波束方向圖

陣列的波束方向圖（Array Factor, AF）定義為：
$$AF(\theta )={\mathbf{w}}^H\mathbf{a}(\theta )=\sum _{n=1}^N{w}_n^{?}{e}^{j(n?1)\Delta ?}$$

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4. 數學推導：波束成形的實現

4.1 相位補償法

若需使主瓣對準方向${\theta }_0$，需補償相鄰陣元間的相位差。權重向量設計為：
$$w_n=e^{?j(n?1)\frac{2\pi d\sin {\theta }_0}{\lambda }}$$
此時，方向圖在${\theta }_0$處達到最大值。

4.2 波束方向圖分析

代入權重后，方向圖簡化為：
$$AF(\theta )=\sum _{n=0}^{N?1}{e}^{jn\frac{2\pi d}{\lambda }(\sin \theta ?\sin {\theta }_0)}$$
利用等比數列求和公式：
$$AF(\theta )=\frac{\sin \left(N?\frac{\pi d}{\lambda }(\sin \theta ?\sin {\theta }_0)\right)}{\sin \left(\frac{\pi d}{\lambda }(\sin \theta ?\sin {\theta }_0)\right)}$$

4.3 主瓣與柵瓣

• 主瓣寬度：與$N$成反比，$N$越大波束越窄。
• 柵瓣條件：當$d/\lambda >0.5$時，可能出現多個主瓣（柵瓣）。

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5. 波束增益計算

5.1 方向性系數

波束增益$G$定義為最大輻射強度與各向同性輻射器的比值：
$$G=\frac{4\pi |AF({\theta }_0){|}^2}{{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }|AF(\theta ,?){|}^2\sin \theta d\theta d?}$$
對于均勻加權ULA，最大增益近似為：
$$G\approx N?\left(\frac{4\pi d}{\lambda }\right)$$

5.2 陣元間距影響

• 最優間距：通常取$d=\lambda /2$，以避免柵瓣并最大化增益。
• 過密陣元：間距過小導致互耦效應，降低效率。

5.3 實際增益公式

考慮效率$\eta$后，實際增益為：
$$G_{real}=\eta ?N?G_{element}$$
其中$G_{element}$為單個陣元的增益。

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6. 影響波束增益的關鍵因素

1. 陣元數量（N）：增益隨$N$線性增加。
2. 權重設計：非均勻加權（如切比雪夫加權）可降低旁瓣，但略微減小主瓣增益。
3. 頻率與帶寬：寬帶信號需考慮色散效應。
4. 陣元方向性：若陣元非各向同性，總增益需乘以陣元方向圖。
5. 掃描角度：掃描至端射方向（$\theta =90^{°}$）時增益下降。

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7. 擴展：平面陣列與二維波束成形

對于$M\times N$平面陣列，導向向量為：
$$\mathbf{a}(\theta ,?)={\mathbf{a}}_x(\theta ,?)?{\mathbf{a}}_y(\theta ,?)$$
其中$?$表示Kronecker積。增益提升至$M\times N$倍。

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8. 仿真

這里直接提供仿真代碼和仿真結果：
先說結果，采用32陣元的陣列進行仿真，陣列布局如圖如下，陣元間隔0.8 $\lambda$

仿真在俯仰角60度時，方位角指向不同方向的波束情況如下：

完整代碼作為福利，如下：

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Tue Apr  8 22:13:36 2025@author: neol
"""import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Dplt.close('all')
# 設置全局字體為支持中文的字體
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['WenQuanYi Micro Hei']  # 黑體
# 解決負號顯示問題
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False# 參數設置
c = 299792458  # 光速
freq = 1268.52e6  # 頻率
wavelength = c / freq  # 波長
d = wavelength*0.7 # 陣元間距
N = 6  # 網格尺寸(6x6)
theta_res = 1  # 角度分辨率(度)# 生成陣元位置(四角空缺)
positions = []
for i in range(N):for j in range(N):# 排除四個角落(0,0),(0,5),(5,0),(5,5)if (i==0 and j==0) or (i==0 and j==5) or (i==5 and j==0) or (i==5 and j==5):continuepositions.append([i*d - (N-1)*d/2, j*d - (N-1)*d/2, 0])  # 中心對齊positions = np.array(positions)
num_elements = len(positions)
print(f"有效陣元數量: {num_elements}")# 生成12個目標方向(方位角均勻分布)
num_beams = 12
phi_targets = np.linspace(0, 2*np.pi, num_beams, endpoint=False)
# theta_target = np.pi/2  # 固定俯仰角為90度(水平面)
pitch = 60
theta_target = np.radians(pitch)  # 俯仰角設置# 波束方向圖計算函數
def calculate_beam_pattern(weights, positions, wavelength):theta = np.linspace(0, np.pi, 181)phi = np.linspace(0, 2*np.pi, 361)THETA, PHI = np.meshgrid(theta, phi)# 轉換為直角坐標X = np.sin(THETA) * np.cos(PHI)Y = np.sin(THETA) * np.sin(PHI)Z = np.cos(THETA)pattern = np.zeros_like(THETA, dtype=np.complex128)# 計算每個陣元的貢獻for i, pos in enumerate(positions):phase_shift = 2*np.pi/wavelength * (pos[0]*X + pos[1]*Y + pos[2]*Z)pattern += weights[i] * np.exp(1j*phase_shift)return 20*np.log10(np.abs(pattern))# 創建繪圖
fig = plt.figure(figsize=(18,12))
fig.suptitle('32-Element Array Beam Patterns (12 Directions)', fontsize=16)# 為每個波束生成權重并繪圖
for beam_idx in range(num_beams):# 當前目標方向phi_target = phi_targets[beam_idx]# 計算導向矢量steering_vector = np.zeros(num_elements, dtype=np.complex128)for i, pos in enumerate(positions):phase = 2*np.pi/wavelength * (pos[0]*np.sin(theta_target)*np.cos(phi_target) +pos[1]*np.sin(theta_target)*np.sin(phi_target) +pos[2]*np.cos(theta_target))steering_vector[i] = np.exp(-1j*phase)# 歸一化權重weights = steering_vector / np.linalg.norm(steering_vector)# 計算方向圖pattern = calculate_beam_pattern(weights, positions, wavelength)# 轉換為極坐標并繪圖ax = fig.add_subplot(3, 4, beam_idx+1, projection='polar')ax.set_theta_offset(np.pi/2)ax.set_theta_direction(-1)#標志主瓣方向r_max = 15r_min = -40ax.plot([phi_target, phi_target], [r_min, r_max], color='red', linestyle='--', linewidth=1.5, alpha=0.8)phi_plot = np.linspace(0, 2*np.pi, 361)theta_plot = np.linspace(0, np.pi, 181)# 提取水平面方向圖horizontal_cut = pattern[:, pitch]  # theta=90度# 繪制極坐標圖ax.plot(phi_plot, horizontal_cut, linewidth=1.5)ax.set_title(f'Beam {beam_idx+1}\nAzimuth={np.degrees(phi_target):.1f}°\nPitch={pitch:.1f}°', pad=20)ax.set_rlim(r_min, r_max)ax.grid(True)plt.tight_layout()
plt.show()# 繪制陣列幾何布局
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.scatter(positions[:,0]/wavelength, positions[:,1]/wavelength, s=50, c='r')
plt.title('Array Geometry (Wavelength Normalized)')
plt.xlabel('X (λ)')
plt.ylabel('Y (λ)')
plt.grid(True)
plt.axis('equal')
plt.show()

9. 結論

天線陣列波束成形通過精確控制各陣元的相位和幅度，實現了信號的空間選擇性。其性能直接取決于陣元數量、間距及權重設計。理解其數學本質和增益限制因素，對5G Massive MIMO、雷達等系統設計至關重要。

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