非零初始條件系統的傳遞函數分析

在傳遞函數的定義中，通常假設系統滿足零初始條件。然而在實際應用中，很多系統需要處理非零初始狀態。為了探討這一問題，我們以一個一階微分方程為例進行分析。

一、一階系統的分析

考慮以下一階微分方程：
$$\frac{dx(t)}{dt}+ax(t)=u(t)$$

對其兩邊進行拉普拉斯變換，根據線性微分方程的性質，可得：
$$\mathcal{L}\left[\frac{dx(t)}{dt}+ax(t)\right]=\mathcal{L}[u(t)]$$
展開得到：
$$sX(s)?x(0)+aX(s)=U(s)$$

1. 零初始條件的情況

當初始條件$x(0)=0$時，上式簡化為：
$$sX(s)+aX(s)=U(s)$$
系統的傳遞函數可定義為：
$$G(s)=\frac{X(s)}{U(s)}=\frac{1}{s+a}$$

2. 非零初始條件的情況

當初始條件$x(0)\ne 0$時，上式變為：
$$sX(s)+aX(s)=U(s)+x(0)$$

我們定義一個新的系統輸入：
$$U_1(s)=U(s)+x(0)$$
代入后可以得到傳遞函數：
$$G(s)=\frac{X(s)}{U_1(s)}=\frac{1}{s+a}$$

可以看出，無論系統是否具有初始條件，其傳遞函數形式都是一致的。 在非零初始條件的情況下，系統的輸入中會多出一個等于初始條件的附加項$x(0)$。

二、非零初始條件的物理意義

根據上述分析，非零初始條件的拉普拉斯變換為$x(0)$，其拉普拉斯逆變換為：
$${\mathcal{L}}^{?1}[x(0)]=x(0)\delta (t)$$

其中，$\delta (t)$是單位沖激函數，表示在極短的時間內釋放一個單位能量。將其乘以系數$x(0)$后，可以理解為瞬間施加了$x(0)$個單位的能量。對于系統而言，這種瞬間施加的能量不會影響到系統的穩定性或特征分析。

三、系統框圖分析

1. 零初始條件系統的框圖

$$\stackrel{U(s)}{\to }\boxed{G(s)=\frac{1}{s+a}}\stackrel{X(s)}{\to }$$

2. 非零初始條件系統的框圖

$$\begin{array}{c}\stackrel{U(s)}{\to }\\ \stackrel{x(0)}{\to }\end{array}\boxed{G(s)=\frac{1}{s+a}}\stackrel{X(s)}{\to }$$

四、總結

從上述框圖可以看出，無論是否具有初始條件，系統的傳遞函數形式均相同。非零初始條件僅在輸入中引入了一項與初始狀態相關的附加能量。對于高階系統，其非零初始條件的處理思想與一階系統一致，均可理解為瞬間賦予系統的“能量”。 這種能量的引入不會影響系統的穩定性與特征分析，但在特定分析場景中可能需要單獨考慮其影響。

%% 非零初始條件系統響應分析
clc; clear; close all;%% 系統參數定義
a = 2;          % 系統參數
x0 = 1;         % 非零初始條件
t = 0:0.01:5;   % 時間向量（0到5秒，步長0.01）%% 創建傳遞函數模型
s = tf('s');
G = 1/(s + a);  % 系統傳遞函數%% 場景1：零初始條件下的階躍響應
figure;
step(G, t);     % 繪制階躍響應
title('零初始條件下的階躍響應');
grid on;%% 場景2：非零初始條件下的零輸入響應（自然響應）
zero_input_response = x0 * exp(-a * t); % 解析解：x0*e^{-at}figure;
plot(t, zero_input_response, 'LineWidth', 1.5);
title('非零初始條件下的零輸入響應 (x(0)=1, u(t)=0)');
xlabel('時間 (秒)');
ylabel('x(t)');
grid on;%% 場景3：非零初始條件下的階躍響應（疊加法）
% 計算零狀態階躍響應
[step_response, t_step] = step(G, t);% 總響應 = 零輸入響應 + 零狀態響應
total_response_superposition = zero_input_response' + step_response;% 繪制疊加結果
figure;
plot(t, total_response_superposition, 'LineWidth', 1.5);
title('非零初始條件下的總響應 (疊加法)');
xlabel('時間 (秒)');
ylabel('x(t)');
grid on;%% 場景4：狀態空間模型直接計算（驗證一致性）
% 轉換為狀態空間模型
sys_ss = ss(G); % 系統狀態空間表示% 定義輸入信號（階躍信號）
u = ones(size(t)); % u(t) = 1 的數組% 計算帶初始條件的響應
[total_response_ss, t_ss, x_state] = lsim(sys_ss, u, t, x0);% 繪制狀態空間方法結果
figure;
plot(t_ss, total_response_ss, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
title('狀態空間法計算的非零初始條件響應');
xlabel('時間 (秒)');
ylabel('x(t)');
grid on;%% 場景5：方法對比（疊加法 vs 狀態空間法）
figure;
hold on;
plot(t, total_response_superposition, 'b', 'LineWidth', 1.5);
plot(t_ss, total_response_ss, 'r--', 'LineWidth', 1);
legend('疊加法', '狀態空間法');
title('響應方法對比');
xlabel('時間 (秒)');
ylabel('x(t)');
grid on;
hold off;% 計算兩種方法的最大誤差
error = max(abs(total_response_superposition - total_response_ss));
disp(['最大絕對誤差: ', num2str(error)]);%% 場景6：等效輸入法（將初始條件視為沖激輸入）
% 構造等效輸入 u_equiv(t) = u(t) + x0*δ(t)
delta = zeros(size(t));        
delta(1) = x0/(t(2)-t(1));    % 離散沖激近似（強度x0）
u_equiv = u + delta;           % 等效輸入信號% 計算等效輸入的零狀態響應
equiv_response = lsim(G, u_equiv, t);% 對比等效輸入法與疊加法
figure;
hold on;
plot(t, total_response_superposition, 'b', 'LineWidth', 1.5);
plot(t, equiv_response, 'g--', 'LineWidth', 1);
legend('疊加法', '等效輸入法');
title('等效輸入法對比');
xlabel('時間 (秒)');
ylabel('x(t)');
grid on;
hold off;