B樣條曲線：已知弧長 L 求參數 u 的方法

1. B樣條曲線定義

B樣條曲線由以下要素定義：

• 控制點：P?, P?, P?, ..., P?
• 節點向量（ Knot Vector ）：U = [u?, u?, ..., u?]
• 曲線次數：k（例如，三次 B樣條 k = 3）
• 參數 u ∈ [u?, u???]（有效定義域）

曲線表達式為：

B(u) = Σ???? N?,?(u) · P?

其中：

• N?,?(u) 是第 i 個 k 次 B樣條基函數（通過德布爾算法遞歸計算）
• B(u) 是參數 u 對應的曲線上的點

2. 曲線導數（切向量）

B'(u) = d/du [B(u)] = Σ???? N'?,?(u) · P?

導數表示曲線在 u 處的切向量，其模長為：

‖B'(u)‖ = √[ (dx/du)2 + (dy/du)2 ] （二維情況）
或擴展到三維：√[ (dx/du)2 + (dy/du)2 + (dz/du)2 ]

3. 弧長公式

從起點 u = u? 到參數 u 的弧長為：

s(u) = ∫??? ‖B'(ξ)‖ dξ

這個積分沒有解析解，必須通過數值積分計算（如：梯形法、辛普森法、高斯積分等）。

4. 已知弧長 L，求參數 u

給定從起點到某點的弧長 L，求對應的參數 u，即求解：

s(u) = L

這是一個非線性方程求根問題，需使用數值方法。

5. 推薦求解方法

（1）牛頓-拉夫遜法（Newton-Raphson）

迭代公式：

u??? = u? ? [s(u?) ? L] / ‖B'(u?)‖

步驟：

1. 初始化 u?（例如：u? = u? + (u??? ? u?) × (L / 總弧長)）
2. 計算 s(u?)：使用數值積分從 u? 到 u? 積分 ‖B'(ξ)‖
3. 計算 ‖B'(u?)‖
4. 更新 u???，直到 |s(u?) ? L| < 容差（如 1e??）

（2）預計算弧長查找表（推薦用于實時應用）

步驟：

1. 在參數區間 [u?, u???] 上均勻采樣 N 個 u 值：u?, u?, ..., u?
2. 對每個 u?，計算累積弧長 s? = ∫???? ‖B'(ξ)‖ dξ
3. 構建數據表：(u?, s?)
4. 給定 L，使用線性插值或樣條插值查找對應的 u

例如線性插值：

若 s? ≤ L ≤ s???，則：

u ≈ u? + (L ? s?) × (u??? ? u?) / (s??? ? s?)

6. 注意事項

• B樣條曲線在不同區間具有不同的基函數，需注意?u 所在的節點區間
• 弧長積分必須在參數連續的區間內進行
• 若曲線有重復節點或退化，需特殊處理
• 對于閉合曲線，起點不一定是 u = u?，需根據參數化方式調整