【1】引言

前序學習進程中，對經典的二項分布和正態分布已經有一定的掌握。
今天為學習一種稍顯復雜的分布提前布局一下，學習伽馬函數。

【2】伽馬函數

伽馬函數有兩種經典寫法，一種是積分形式，另一種是無窮乘積形式。

【2.1】積分形式

對于所有大于0的復數$z$，伽馬函數定義為：
$$\Gamma (z)={\int }_0^{+\infty }{t}^{z?1}{e}^{?t}dt$$
這個積分式子在$z>0$時收斂。

【2.2】無窮乘積形式

$$\Gamma (z)=\frac{1}{z}\prod _{n=1}^{+\infty }\frac{(1+\frac{1}{n}{)}^z}{1+\frac{z}{n}}$$
這種形式的伽馬函數在$z=0,?1,?2,...$處存在極點，函數值會趨向于無窮大。

【3】溯源

如果只知道定義式，很難理解伽馬函數的意義。為此，我們很有必要溯源。

【3.1】階乘-離散式子

中學階段我們就知道，正整數$n$的階乘計算式為：
$$n!=n\times (n?1)\times (n?2)\times ...\times 2\times 1$$
以及$0!=1$
很明顯，這樣的階乘計算只能計算非負整數，定義域比較有限。

【3.2】積分-連續式子

【3.1】階乘改寫

上述$n!$可以改寫成下式：
$$n!=li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n?k!}{(n+1)(n+2)...(n+k)}$$這個式子的作用是，用$k$的冪次抵消乘積的增長，讓極限趨向于有限值。
證明這個式子：
第一步：
$$(n+1)(n+2)...(n+k)=\frac{(n+k)!}{n!}$$
第二步，代入階乘式有：
$$\begin{gathered} n!=li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n?k!?n!}{(n+k)!}= \\ n!li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n?k!}{(n+k)!} \end{gathered}$$
所以對式子的證明，可以簡化為：
$$li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n?k!}{(n+k)!}=1$$

第三步：
因為：
$$(n+k)!=[k!][(k+1)(k+2)???(k+n)]$$
所以：
$$\begin{gathered} li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n?k!}{(n+k)!}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n?k!}{[k!][(k+1)(k+2)???(k+n)]}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n?k!}{[k!][(k+1)(k+2)???(k+n)]}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n}{(k+1)(k+2)???(k+n)} \end{gathered}$$
第四步：分母每個括號中都提取一個$k$：
$$\begin{gathered} li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n}{(k+1)(k+2)???(k+n)}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n}{[k(1+\frac{1}{k})][k(1+\frac{2}{k})]???[k(1+\frac{n}{k})]}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n}{k^n?(1+\frac{1}{k})(1+\frac{2}{k})???(1+\frac{n}{k})}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{1}{(1+\frac{1}{k})(1+\frac{2}{k})???(1+\frac{n}{k})} \end{gathered}$$
對于上述計算式，當$k\to +\infty$時，分母的乘積為1，所以：
$$li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n}{(k+1)(k+2)???(k+n)}=1$$

第五步，反過來再直接推一遍式子：
因為：
$$\begin{gathered} li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n}{(k+1)(k+2)???(k+n)}=1 \\ =li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n?k!}{k!?(k+1)(k+2)???(k+n)}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n?k!}{(k+n)!}=1 \end{gathered}$$
所以
$$\begin{gathered} n!=n!?li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n?k!}{(n+k)!}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n?k!?n!}{(n+k)!}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n?k!}{(n+1)(n+2)...(n+k)} \end{gathered}$$

【4】細節說明

階乘形式的伽馬函數主要適用于整數，如果把證書替換成任意實數，就會有：
$$x!=li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^x?k!}{(x+1)(x+2)...(x+k)}$$
此時，只要$x$不是負整數，因為負整數會導致分母為0，上述計算式就能執行，此時階乘形式的伽馬函數被擴展到除負整數以外的所有實數。

【5】總結

初步學習了伽馬函數并對伽馬函數展開了溯源。