邏輯回歸（Logistic Regression）是機器學習中最基礎且廣泛使用的分類算法之一。雖然名字中帶有"回歸"二字，但它實際上是一種分類算法，主要用于解決二分類問題，也可以擴展到多分類問題。

1. 邏輯回歸的基本原理

邏輯回歸基于線性回歸模型，通過引入Sigmoid函數將線性回歸的輸出映射到[0,1]區間，表示樣本屬于正類的概率。

1.1 線性回歸部分

邏輯回歸首先計算線性組合：
$$z=w_0+w_1{x}_1+w_2{x}_2+...+w_n{x}_n$$

其中：

• $w_0$ 是偏置項（截距）
• $w_1,w_2,...,w_n$ 是特征權重
• $x_1,x_2,...,x_n$ 是輸入特征

1.2 Sigmoid函數

通過Sigmoid函數將線性組合的結果映射到概率：
$$h_{\theta }(x)=\frac{1}{1+e^{?z}}$$

Sigmoid函數的輸出范圍是(0,1)，正好可以解釋為概率值。

1.3 決策邊界

通常以0.5為閾值進行分類：

• 如果 $h_{\theta }(x)\ge 0.5$，預測為正類
• 如果 $h_{\theta }(x)<0.5$，預測為負類

2. 邏輯回歸的損失函數

邏輯回歸使用對數似然損失（Log-Likelihood Loss）作為目標函數：
$$J(\theta )=?\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[y^{(i)}\log (h_{\theta }(x^{(i)}))+(1?y^{(i)})\log (1?h_{\theta }(x^{(i)}))]$$

其中：

• $m$ 是樣本數量
• $y^{(i)}$ 是第$i$個樣本的真實標簽（0或1）
• $h_{\theta }(x^{(i)})$ 是模型對第$i$個樣本的預測概率

通過梯度下降等優化算法最小化損失函數來訓練模型。

3. 邏輯回歸的應用場景

邏輯回歸因其簡單高效，在實際應用中非常廣泛：

1. 醫療診斷：根據患者特征預測是否患病
2. 金融風控：判斷貸款申請者是否違約
3. 市場營銷：預測用戶是否會點擊廣告
4. 郵件過濾：識別垃圾郵件
5. 社交媒體：預測用戶是否會點贊或分享內容

4. 邏輯回歸的優缺點

4.1 優點

1. 簡單高效：訓練速度快，計算資源消耗少
2. 可解釋性強：模型參數具有明確的物理意義
3. 不需要特征縮放：對特征的量綱不敏感
4. 輸出有概率意義：可以直接得到分類概率
5. 不容易過擬合：特別是當特征維度較高時

4.2 缺點

1. 線性決策邊界：只能處理線性可分的問題
2. 對異常值敏感：極端值會影響模型性能
3. 特征工程要求高：需要人工處理特征間的非線性關系

5. 使用scikit-learn實現邏輯回歸

下面通過一個完整的示例來演示如何使用scikit-learn實現邏輯回歸：

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score, classification_report
from sklearn.datasets import load_iris
import pandas as pd# 加載數據集
iris = load_iris()
X = iris.data
y = iris.target# 為了演示二分類，我們只使用前兩個類別
X = X[y != 2]
y = y[y != 2]# 劃分訓練集和測試集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42, stratify=y
)# 創建邏輯回歸模型
# C是正則化強度的倒數，較小的值表示更強的正則化
clf = LogisticRegression(C=1.0, random_state=42, max_iter=1000)# 訓練模型
clf.fit(X_train, y_train)# 預測
y_pred = clf.predict(X_test)
y_proba = clf.predict_proba(X_test)# 評估模型
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print(f"準確率: {accuracy:.4f}")
print("\n分類報告:")
print(classification_report(y_test, y_pred, target_names=iris.target_names[:2]))# 查看模型參數
print("\n模型參數:")
print(f"權重: {clf.coef_}")
print(f"偏置: {clf.intercept_}")

6. 邏輯回歸的改進與擴展

6.1 正則化

為了防止過擬合，可以在損失函數中加入正則化項：

1. L1正則化（Lasso）：
   $$J(\theta )=?\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[y^{(i)}\log (h_{\theta }(x^{(i)}))+(1?y^{(i)})\log (1?h_{\theta }(x^{(i)}))]+\lambda \sum _{j=1}^n|w_j|$$

2. L2正則化（Ridge）：
   $$J(\theta )=?\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[y^{(i)}\log (h_{\theta }(x^{(i)}))+(1?y^{(i)})\log (1?h_{\theta }(x^{(i)}))]+\lambda \sum _{j=1}^n{w}_j^2$$

在scikit-learn中可以通過penalty參數指定正則化類型。

6.2 多分類擴展

邏輯回歸可以擴展到多分類問題，常用的方法有：

1. 一對一（One-vs-One）：為每兩個類別訓練一個分類器
2. 一對多（One-vs-Rest）：為每個類別訓練一個分類器

scikit-learn默認使用一對多策略處理多分類問題。

7. 總結

邏輯回歸作為機器學習的入門算法，具有簡單、高效、可解釋性強等優點。雖然它只能處理線性可分的問題，但在許多實際應用中表現良好。通過正則化、特征工程等技術手段，可以進一步提升邏輯回歸的性能。

在實際項目中，邏輯回歸常被用作基線模型，用于快速驗證問題的可解性和數據的質量。同時，它也是理解更復雜算法（如神經網絡）的良好起點。

無論你是機器學習的初學者還是從業者，掌握邏輯回歸都是必不可少的技能。通過不斷的實踐和調優，你可以充分發揮邏輯回歸在各類分類任務中的潛力。