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論文引用：
Qiang Long, Changzhi Wu, Tingwen Huang, Xiangyu Wang,
A genetic algorithm for unconstrained multi-objective optimization,
Swarm and Evolutionary Computation,
Volume 22,
2015,
Pages 1-14,
ISSN 2210-6502,
https://doi.org/10.1016/j.swevo.2015.01.002.

這部分內容圍繞多目標遺傳算法（MOGAs）評估體系展開，核心是構建能衡量算法性能的指標，從逼近真實 Pareto 前沿的程度（ closeness ） 和 解集分布多樣性（ diversity ） 兩維度設計，具體總結如下：

一、評估體系設計背景

多目標遺傳算法（MOGAs）輸出 Pareto 近似解集 而非單一最優解，直接對比算法性能困難。需建立評估體系，從“解與真實 Pareto 前沿的接近度”和“解的分布多樣性”兩個核心維度，量化衡量 MOGAs 的數值性能。

二、評估體系理論基礎

多目標優化本質融合兩種策略：

1. 逼近性（Closeness）：最小化解集與真實 Pareto 前沿的距離，類似單目標優化“找最優解”；
2. 多樣性（Diversity）：最大化解集在目標空間的分布廣度，類似多峰優化“找多最優解”。

評估體系圍繞這兩個策略，設計接近度指標（Closeness metric）和多樣性指標（Diversity metric）。

三、接近度指標（Closeness Metric）

目標：衡量解集與真實 Pareto 前沿（${\mathcal{P}}^{?}$）的接近程度，核心優化傳統指標的缺陷。

1. 傳統 Error Ratio（ER）

• 原理：統計解集$Q$中不屬于真實 Pareto 前沿的解數量，計算占比：
  $$\text{ER}=\frac{{\sum }_{i=1}^{|Q|}{e}_i}{|Q|},e_i=\{\begin{array}{ll}1& \text{若?}{x}_i\in Q\text{?且?}{x}_i\notin {\mathcal{P}}^{?}\\ 0& \text{若?}{x}_i\in Q\text{?且?}{x}_i\in {\mathcal{P}}^{?}\end{array}$$
• 缺陷：僅嚴格區分“是否屬于${\mathcal{P}}^{?}$”，無法體現“接近但非嚴格屬于”的解，對接近度衡量不足。

2. 改進的 Modified Error Ratio（MER）

• 優化思路：引入“解到真實 Pareto 前沿的距離$d_i$”，用指數函數軟化嚴格判定：
  $$e_i=e^{?\alpha d_i},d_i=\underset{P\in {\mathcal{P}}^{?}}{\min }d(x_i,P)$$
  （$\alpha \in [1,4]$為參數，$d(?)$為歐氏距離等度量方式）
• 計算：改進后指標仍按比例計算：
  $$\text{MER}=\frac{{\sum }_{i=1}^{|Q|}{e}_i}{|Q|}$$
• 優勢：$e_i\in (0,1]$，距離越近$e_i$越接近 1，MER 越大說明解集整體越接近真實 Pareto 前沿。

四、多樣性指標（Diversity Metric）

目標：衡量解集在目標空間的分布均勻性，采用**基于單元格劃分（cell-based）**的方法。

1. 核心步驟（Cell-based 流程）

• Step 1：輸入 Pareto 前沿的上下界（$ub,lb$），設置維度分段數$\beta$（控制網格精細度）；
• Step 2：將目標函數空間按$\beta$分段，劃分為單元格（cell）網格；
• Step 3：遍歷解集中的每個解，若解落在單元格內，標記該單元格為“有解（indicator=1）”；
• Step 4：統計標記為 1 的單元格數量$M$，計算多樣性指標：
  $$R=\frac{M}{|Q|}$$

2. 關鍵參數$\beta$的影響

-$\beta$過小（網格過粗）：解易集中在少數單元格，無法區分分布差異；
-$\beta$過大（網格過細）：每個解可能單獨占一個單元格，同樣無法有效評估多樣性；

• 建議：$\beta$設為接近或略大于種群規模，保證$R\in (0,1]$，合理反映分布多樣性。

3. 指標含義

$R$越大，說明解分布在更多單元格中，解集多樣性越好（如示例中 20 個解分布對應$R=13/20=0.65$）。

五、體系價值

通過“接近度（MER）”和“多樣性（$R$）”兩個指標，可量化對比不同 MOGAs 的性能：

• MER 反映算法尋優精度（是否接近真實 Pareto 前沿）；
• $R$反映算法解的分布質量（是否均勻覆蓋前沿）。

二者結合，為多目標遺傳算法的改進、對比提供了可量化的評估框架，尤其適用于測試問題（已知 Pareto 前沿）的算法驗證。