C++中的cmath庫

在C++編程中，數值計算是科學計算、工程應用及算法開發的基礎。cmath庫作為C++標準庫的重要組成部分，提供了豐富的數學函數和工具，能夠高效處理各種數值計算任務。本文將全面解析cmath庫的核心功能，并通過實戰案例展示其強大威力。

一、cmath庫概述

cmath庫是C++對C語言math.h頭文件的封裝，提供了一套完整的數學函數接口。與C語言版本相比，cmath更好地融入了C++的類型系統和異常處理機制，并且支持C++的命名空間規范。

1.1 頭文件與命名空間

使用cmath庫需要包含對應的頭文件，并通常使用std命名空間：

#include <cmath>
using namespace std; // 或直接使用std::前綴

1.2 數據類型支持

cmath庫主要支持以下數據類型的數學運算：

float：單精度浮點數
double：雙精度浮點數（默認類型）
long double：擴展精度浮點數
C++11新增的complex復數類型

二、核心數學函數詳解

2.1 平方根與冪函數

sqrt - 計算平方根

sqrt函數用于計算一個數的算術平方根，原型為：

double sqrt(double x);
float sqrt(float x);
long double sqrt(long double x);

注意：參數必須為非負數，否則會導致定義域錯誤（可能返回NaN）。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;int main() {double num = 25.0;double result = sqrt(num);cout << "sqrt(" << num << ") = " << result << endl; // 輸出: 5.0// 處理負數情況double negative = -4.0;if (negative >= 0) {cout << "sqrt(" << negative << ") = " << sqrt(negative) << endl;} else {cout << "不能計算負數的平方根" << endl;}return 0;
}

pow - 計算冪次方

pow函數用于計算x的y次方，原型為：

double pow(double x, double y);
float pow(float x, float y);
long double pow(long double x, long double y);

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;int main() {// 計算2的3次方double result1 = pow(2, 3);cout << "2^3 = " << result1 << endl; // 輸出: 8.0// 計算平方根 (等價于x^0.5)double result2 = pow(25, 0.5);cout << "25^0.5 = " << result2 << endl; // 輸出: 5.0// 處理特殊情況double result3 = pow(2, -3); // 2的-3次方cout << "2^-3 = " << result3 << endl; // 輸出: 0.125return 0;
}

2.2 三角函數與反三角函數

sin/cos/tan - 三角函數

三角函數的參數為弧度值，原型為：

double sin(double x);
double cos(double x);
double tan(double x);

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;int main() {// 計算sin(π/2)double radians = M_PI / 2; // M_PI是cmath中定義的π常量double sinValue = sin(radians);cout << "sin(π/2) = " << sinValue << endl; // 輸出: 1.0// 角度轉弧度的輔助函數double degrees = 45.0;double radians2 = degrees * M_PI / 180.0;double tan45 = tan(radians2);cout << "tan(45°) = " << tan45 << endl; // 輸出: 1.0return 0;
}

asin/acos/atan - 反三角函數

反三角函數返回弧度值，原型為：

double asin(double x); // 返回[-π/2, π/2]
double acos(double x); // 返回[0, π]
double atan(double x); // 返回[-π/2, π/2]

2.3 指數與對數函數

exp - 指數函數

計算自然指數e^x：

double exp(double x);

log/log10 - 對數函數

log計算自然對數(以e為底)，log10計算常用對數(以10為底)：

double log(double x);  // ln(x)
double log10(double x); // lg(x)

2.4 取整與絕對值函數

floor/ceil/round - 取整函數

double floor(double x);  // 向下取整
double ceil(double x);   // 向上取整
double round(double x);  // 四舍五入

fabs - 絕對值函數

double fabs(double x);

三、進階功能與高級用法

3.1 復數運算

C++11通過complex模板類支持復數運算，cmath庫提供了對應的復數數學函數：

#include <iostream>
#include <complex>
#include <cmath>
using namespace std;int main() {// 定義復數complex<double> z1(3, 4); // 3 + 4icomplex<double> z2(1, 1); // 1 + 1i// 復數運算complex<double> sum = z1 + z2;complex<double> product = z1 * z2;// 復數模長double magnitude = abs(z1); // 計算√(32+42)=5// 復數相位角double phase = arg(z1); // 計算arctan(4/3)cout << "z1 + z2 = " << sum << endl;cout << "z1 * z2 = " << product << endl;cout << "|z1| = " << magnitude << endl;return 0;
}

3.2 特殊函數與誤差處理

cmath還包含一些特殊函數，如誤差函數、伽馬函數等：

double erf(double x);  // 誤差函數
double erfc(double x); // 互補誤差函數
double tgamma(double x); // 伽馬函數
double lgamma(double x); // 伽馬函數的自然對數

3.3 數值極限與異常處理

使用numeric_limits獲取數值類型的極限值：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <limits>
using namespace std;int main() {// 獲取double類型的最大值和最小值double max_val = numeric_limits<double>::max();double min_val = numeric_limits<double>::min();cout << "double最大值: " << max_val << endl;cout << "double最小值: " << min_val << endl;// 檢測是否為NaN或無窮大double nan_val = sqrt(-1.0);if (isnan(nan_val)) {cout << "該值為NaN" << endl;}double inf_val = exp(1000);if (isinf(inf_val)) {cout << "該值為無窮大" << endl;}return 0;
}

四、實戰案例：數值計算應用

4.1 案例一：求解一元二次方程

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;// 求解一元二次方程 ax2 + bx + c = 0
void solveQuadratic(double a, double b, double c) {if (fabs(a) < 1e-10) {cout << "這不是一元二次方程" << endl;return;}double discriminant = b * b - 4 * a * c;if (discriminant > 0) {// 兩個不同的實根double sqrtDisc = sqrt(discriminant);double root1 = (-b + sqrtDisc) / (2 * a);double root2 = (-b - sqrtDisc) / (2 * a);cout << "方程有兩個實根: " << root1 << " 和 " << root2 << endl;} else if (fabs(discriminant) < 1e-10) {// 兩個相同的實根double root = -b / (2 * a);cout << "方程有一個重根: " << root << endl;} else {// 兩個共軛復根double realPart = -b / (2 * a);double imagPart = sqrt(-discriminant) / (2 * a);cout << "方程有兩個復根: " << realPart << " + " << imagPart << "i 和 " << realPart << " - " << imagPart << "i" << endl;}
}int main() {// 測試案例: x2 - 5x + 6 = 0，根為2和3solveQuadratic(1, -5, 6);// 測試案例: x2 + 1 = 0，復根solveQuadratic(1, 0, 1);return 0;
}

4.2 案例二：物理運動學計算

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;// 計算拋體運動的軌跡
void projectileMotion(double initialVelocity, double angleDeg) {// 角度轉弧度double angleRad = angleDeg * M_PI / 180.0;// 初始速度分量double vx = initialVelocity * cos(angleRad);double vy = initialVelocity * sin(angleRad);// 重力加速度const double g = 9.8;// 計算飛行時間double flightTime = 2 * vy / g;// 計算最大高度double maxHeight = vy * vy / (2 * g);// 計算水平射程double range = vx * flightTime;cout << "初始速度: " << initialVelocity << " m/s" << endl;cout << "發射角度: " << angleDeg << " 度" << endl;cout << "飛行時間: " << flightTime << " 秒" << endl;cout << "最大高度: " << maxHeight << " 米" << endl;cout << "水平射程: " << range << " 米" << endl;
}int main() {// 測試案例: 初始速度20m/s，角度45度projectileMotion(20, 45);return 0;
}