向量 x x x的相關矩陣為
R x = [ 0.3 0.1 0.1 0.1 0.3 ? 0.1 0.1 ? 0.1 0.3 ] {\bm R}_x = \begin{bmatrix} 0.3 & 0.1 & 0.1 \\ 0.1 & 0.3 & -0.1 \\ 0.1 & -0.1 & 0.3 \end{bmatrix} Rx?= ?0.30.10.1?0.10.3?0.1?0.1?0.10.3? ?
計算輸入向量的 KL 變換。
解答
R x {\bm R}_x Rx?的特征值為 λ 0 = 0.1 \lambda_0 = 0.1 λ0?=0.1， λ 1 = λ 2 = 0.4 \lambda_1 = \lambda_2 = 0.4 λ1?=λ2?=0.4。
既然 R x {\bm R}_x Rx?是對稱的，可以構建正交特征向量。
在這個例子中，有
u 0 = 1 3 [ 1 ? 1 ? 1 ] , u 1 = 1 6 [ 2 1 1 ] , u 2 = 1 2 [ 0 1 ? 1 ] {\bm u}_0 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad {\bm u}_1 = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad {\bm u}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} u0?=3?1? ?1?1?1? ?,u1?=6?1? ?211? ?,u2?=2?1? ?01?1? ?
則 KL 變換為
[ y ( 0 ) y ( 1 ) y ( 2 ) ] = [ 2 / 6 1 / 6 1 / 6 0 1 / 2 ? 1 / 2 1 / 3 ? 1 / 3 ? 1 / 3 ] [ x ( 0 ) x ( 1 ) x ( 2 ) ] \begin{bmatrix} y(0) \\ y(1) \\ y(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2/\sqrt{6} & 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{6} \\ 0 & 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{3} & -1/\sqrt{3} & -1/\sqrt{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x(0) \\ x(1) \\ x(2) \end{bmatrix} ?y(0)y(1)y(2)? ?= ?2/6?01/3??1/6?1/2??1/3??1/6??1/2??1/3?? ? ?x(0)x(1)x(2)? ?
其中 y ( 0 ) , y ( 1 ) y(0), y(1) y(0),y(1)對應于兩個最大的特征值。
)
