文中內容僅限技術學習與代碼實踐參考，市場存在不確定性，技術分析需謹慎驗證，不構成任何投資建議。

21. 拋硬幣游戲

兩個賭徒正在玩一個拋硬幣游戲。
賭徒A有(n+1)枚均勻硬幣，賭徒B有n枚均勻硬幣。

Q: 如果兩人同時拋擲所有硬幣，A得到的正面朝上的次數比B多的概率是多少？

A: 兩個賭徒分別拋擲硬幣：賭徒A有$n+1$枚均勻硬幣，賭徒B有$n$枚均勻硬幣。每枚硬幣正面朝上的概率均為$\frac{1}{2}$，反面朝上的概率也為$\frac{1}{2}$，且所有硬幣拋擲相互獨立。

設$X$為A得到的正面朝上次數，$Y$為B得到的正面朝上次數。$X$服從二項分布$\text{Bin}(n+1,\frac{1}{2})$，$Y$服從二項分布$\text{Bin}(n,\frac{1}{2})$，且$X$與$Y$獨立。需要求$P(X>Y)$。

考慮A的硬幣：將A的硬幣分為兩組，一組為$n$枚硬幣（與B的硬幣數量相同），另一組為一枚額外硬幣。設$X^{\prime }$為A的前$n$枚硬幣的正面朝上次數，則$X^{\prime }～\text{Bin}(n,\frac{1}{2})$，且與$Y$獨立同分布。設$I$為額外硬幣的正面朝上指示變量（即$I=1$表示正面，$I=0$表示反面），則$I～\text{Bernoulli}(\frac{1}{2})$，且與$X^{\prime }$和$Y$獨立。因此，$X=X^{\prime }+I$.

于是，

$$P(X>Y)=P(X^{\prime }+I>Y).$$

根據$I$的值分情況討論：

• 若$I=1$，則$X=X^{\prime }+1$，所以$X>Y$當且僅當$X^{\prime }\ge Y$（因為$X^{\prime }$和$Y$取整數值）。
• 若$I=0$，則$X=X^{\prime }$，所以$X>Y$當且僅當$X^{\prime }>Y$.

因此，

$$P(X>Y)=P(I=1)P(X^{\prime }\ge Y)+P(I=0)P(X^{\prime }>Y).$$

由于$P(I=1)=\frac{1}{2}$和$P(I=0)=\frac{1}{2}$，代入得

$$P(X>Y)=\frac{1}{2}\left[P(X^{\prime }\ge Y)+P(X^{\prime }>Y)\right].$$

因為$X^{\prime }$和$Y$獨立同分布，有$P(X^{\prime }>Y)=P(X^{\prime }<Y)$（由對稱性），且$P(X^{\prime }>Y)+P(X^{\prime }<Y)+P(X^{\prime }=Y)=1$，所以

$$2P(X^{\prime }>Y)+P(X^{\prime }=Y)=1.$$

又

$$P(X^{\prime }\ge Y)=P(X^{\prime }>Y)+P(X^{\prime }=Y),$$

因此

$$\begin{array}{rl}P(X^{\prime }\ge Y)+P(X^{\prime }>Y)& =[P(X^{\prime }>Y)+P(X^{\prime }=Y)]+P(X^{\prime }>Y)\\ & =2P(X^{\prime }>Y)+P(X^{\prime }=Y)\\ & =1.\end{array}$$

代入原式得

$$P(X>Y)=\frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{2}.$$

此結果與$n$無關，且已驗證于小值$n$（如$n=0,1,2,3$)均成立。因此，A得到的正面朝上次數比B多的概率恒為：

$$\boxed{\frac{1}{2}}$$

Python 實現

根據概率論分析，該概率恒為$0.5$，與$n$無關。

import randomdef coin_toss_probability(n: int, trials: int = 100000) -> float:"""計算A比B得到更多正面朝上的概率（理論值1/2，模擬值用于驗證）根據概率論推導，理論概率恒為1/2。模擬實驗用于驗證該理論值。Args:n (int): 賭徒B的硬幣數量，賭徒A有n+1枚硬幣trials (int, optional): 模擬實驗次數. Defaults to 100000.Raises:ValueError: 如果n或trials為負數Returns:float: 理論概率值0.5"""# 參數驗證if n < 0 or trials < 0:raise ValueError("n and trials must be non-negative integers")# 理論概率恒為0.5（與n無關）theoretical_prob = 0.5# 可選：進行模擬實驗驗證（實際應用中可直接返回理論值）success_count = 0for _ in range(trials):# 模擬A的n+1枚硬幣拋擲（0=反面，1=正面）a_result = sum(random.choices([0, 1], k=n + 1))# 模擬B的n枚硬幣拋擲b_result = sum(random.choices([0, 1], k=n))if a_result > b_result:success_count += 1simulated_prob = success_count / trialsprint(f"理論概率: 0.5, 模擬概率(n={n}, trials={trials}): {simulated_prob}")return theoretical_prob# 測試不同n值
for n in [0, 5, 100]:probability = coin_toss_probability(n, trials=50000)print(f"n = {n}: 概率 = {probability}\n")

代碼說明

1. 核心邏輯：

   • 理論值直接返回$0.5$（基于概率論證明）
   • 使用random.choices高效生成拋硬幣結果
   • 通過求和快速計算正面朝上的次數

2. 驗證機制：

   • 可選模擬實驗驗證理論值
   • 打印理論值和模擬值的對比
   • 參數驗證防止非法輸入

輸出示例

理論概率: 0.5, 模擬概率(n=0, trials=50000): 0.50028
n = 0: 概率 = 0.5理論概率: 0.5, 模擬概率(n=5, trials=50000): 0.4972
n = 5: 概率 = 0.5理論概率: 0.5, 模擬概率(n=100, trials=50000): 0.49974
n = 100: 概率 = 0.5

數學解釋

無論n取何值，概率恒為 $0.5$，因為：

• 將A的硬幣分為1枚特殊硬幣 + n枚普通硬幣
• 特殊硬幣的結果（正/反）概率各 $0.5$
• 當特殊硬幣為正面時，只需A的n枚 ≥ B的n枚
• 當特殊硬幣為反面時，只需A的n枚 > B的n枚
• 由對稱性：$P(A_n\ge B_n)+P(A_n>B_n)=1$
• 最終概率：$0.5\times [P(A_n\ge B_n)+P(A_n>B_n)]=0.5\times 1=0.5$

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這道面試題的本質是考察候選人將隨機過程建模為概率問題的能力和利用數學對稱性優化復雜計算的思維，這類能力直接對應量化金融中的衍生品定價、統計套利策略設計和風險管理系統的核心挑戰。

🔑 核心知識點

1. 概率建模
   • 二項分布的應用（硬幣拋擲 → Binomial分布）
   • 獨立隨機變量的聯合概率計算（$X_A～Bin(n+1,p),X_B～Bin(n,p)$）
2. 數學優化
   • 對稱性分析（$P(X_A>X_B)=P(X_B>X_A)+\text{調整項}$）
   • 變量分解技巧（將A的n+1枚拆分為n枚 + 1枚）
3. 數值驗證方法
   • 蒙特卡洛模擬設計（大數定律驗證理論值）
4. 邊界條件處理
   • 極端場景分析（如 n=0 時 A 必然有硬幣而 B 無硬幣）

📊 面試評估維度

考察維度	具體表現要求	本題對應點
數學抽象能力	將現實問題轉化為概率模型	將硬幣游戲映射為二項分布隨機變量比較
分析簡化能力	識別并利用對稱性降低復雜度	通過分解額外硬幣將問題轉化為 P(X’≥Y) 和 P(X’>Y) 的線性組合
計算嚴謹性	處理邊界條件和極端案例	驗證 n=0 時 P(A>B)=0.5（A有1枚硬幣，B無硬幣）
編程實現能力	將數學模型轉化為高效代碼	用蒙特卡洛模擬驗證理論解，避免暴力計算組合數
金融直覺	理解隨機性在金融場景的意義	類似期權定價中波動率對概率分布的影響

🧩 典型回答框架

1. 問題定義

   $$X_A～Bin(n+1,0.5),X_B～Bin(n,0.5),\text{求?}P(X_A>X_B)$$

2. 關鍵分解

   • 將A的硬幣分為兩組：
     • 標準組 X’ ~ Bin(n, 0.5)（與B同分布）
     • 額外硬幣 I ~ Bernoulli(0.5)

3. 條件概率展開

   $$\begin{array}{rl}P(X_A>X_B)& =P(I=1)P(X^{\prime }\ge X_B)+P(I=0)P(X^{\prime }>X_B)\\ & =\frac{1}{2}[\underset{=1}{\underbrace{P(X^{\prime }\ge X_B)+P(X^{\prime }>X_B)}}]\end{array}$$

4. 對稱性證明

   • 由 X’ 與 X_B 獨立同分布：

     $$P(X^{\prime }>X_B)=P(X^{\prime }<X_B)$$

   • 推導核心等式：

     $$P(X^{\prime }\ge X_B)+P(X^{\prime }>X_B)=1$$

5. 最終結論

   $$P(X_A>X_B)=\frac{1}{2}\times 1=0.5$$

💡 核心洞察

在量化金融中，此類問題的深層價值在于訓練候選人在隨機系統中發現確定性規律的能力，盡管硬幣結果具有隨機性，但A的勝率恒為50%，這與金融市場的核心邏輯高度一致：

• 類似期權定價：如同Black-Scholes模型中，波動率增加但多空頭寸的期望收益仍可精確計算
• 風控啟示：即使存在隨機性（如市場波動），通過數學建模仍可提取確定性結論（如對沖比率）
• 策略設計：高頻交易中利用短期統計套利機會時，需快速識別此類"概率優勢"的確定性邊界

風險提示與免責聲明
本文內容基于公開信息研究整理，不構成任何形式的投資建議。歷史表現不應作為未來收益保證，市場存在不可預見的波動風險。投資者需結合自身財務狀況及風險承受能力獨立決策，并自行承擔交易結果。作者及發布方不對任何依據本文操作導致的損失承擔法律責任。市場有風險，投資須謹慎。