在機器學習的世界中，支持向量機（SVM）是一種強大的分類算法，而核函數則是其背后的“魔法”，讓 SVM 能夠處理復雜的非線性問題。今天，我們就來深入探討核函數的奧秘，看看它們是如何幫助 SVM 在高維空間中找到最佳決策邊界的。
一、核函數是什么？
核函數本質上是一種計算兩個向量在高維空間中內積的方法，但它避免了直接將數據映射到高維空間的復雜計算。通過核函數，我們可以巧妙地將原始數據從低維空間映射到高維空間，從而在高維空間中實現線性可分。
二、常用的核函數及其特點
1. 線性核（Linear Kernel）
- 公式： ( K ( x , y ) = x ? y ) (K(x, y) = x \cdot y) (K(x,y)=x?y)
- 特點：最簡單的核函數，不進行任何非線性映射，直接計算原始空間中的內積。它適用于數據本身線性可分的情況，計算速度快，沒有額外的超參數。
2. 多項式核（Polynomial Kernel）
- 公式： ( K ( x , y ) = ( γ ? x ? y + r ) d ) (K(x, y) = (\gamma \cdot x \cdot y + r)^d) (K(x,y)=(γ?x?y+r)d)
- 特點：通過增加多項式特征，提升數據維度。它適用于數據具有多項式關系的場景，可以捕捉特征之間的高階交互。但需要注意的是，高階多項式容易導致過擬合。
3. 高斯徑向基函數核（RBF Kernel）
- 公式： ( K ( x , y ) = exp ? ( ? γ ∥ x ? y ∥ 2 ) ) (K(x, y) = \exp(-\gamma \|x - y\|^2)) (K(x,y)=exp(?γ∥x?y∥2))
- 特點：將數據映射到無限維空間，非常強大和靈活。它是處理非線性問題的首選核函數，適用于大多數復雜的非線性數據。不過，它的計算復雜度較高，且需要仔細調整參數 (\gamma)，否則容易出現過擬合或欠擬合。
4. 拉普拉斯核（Laplace Kernel）
- 公式：(K(x, y) = \exp(-\frac{|x - y|_1}{\sigma}))
- 特點：與 RBF 核類似，但使用 L1 范數而不是 L2 范數。它對離群點更敏感，適用于數據中存在較多異常值的情況。
5. Sigmoid 核（Sigmoid Kernel）
- 公式： ( K ( x , y ) = tanh ? ( γ ? x ? y + r ) ) (K(x, y) = \tanh(\gamma \cdot x \cdot y + r)) (K(x,y)=tanh(γ?x?y+r))
- 特點：模仿神經網絡中的激活函數。它適用于某些特定的非線性問題，但在實踐中不如 RBF 核和多項式核常用。
三、核函數的選擇與應用
選擇合適的核函數是 SVM 成功的關鍵。以下是一些常見的選擇建議：
- 線性核：適用于數據線性可分或高維稀疏數據（如文本分類）。
- 高斯核（RBF）：適用于大多數非線性問題，尤其是低維非線性數據。
- 多項式核：適用于數據具有明顯多項式規律的場景，但需要謹慎調整參數。
四、總結
核函數是 SVM 的核心組件，它通過巧妙的數學技巧，讓 SVM 能夠處理復雜的非線性問題。不同的核函數適用于不同的場景，選擇合適的核函數并調整其參數，是實現 SVM 最優性能的關鍵。希望這篇文章能幫助你更好地理解核函數的原理和應用，讓你在機器學習的道路上更進一步！
