一、線性變換的矩陣

本節將對每個線性變換 $T$ 都指定一個矩陣 $A$. 對于一般的列向量，輸入 $\mathbf{v}$ 在空間 $\text{V}={\text{R}}^n$ 中，輸出 $T(\mathbf{v})$ 在空間 $\text{W}={\text{R}}^m$ 中，則這個變換的矩陣 $A$ 即是 $m\times n$ 的，我們在 $\text{V}$ 和 $\text{W}$ 中基向量的選取將決定 $A$.
${\text{R}}^n$ 和 ${\text{R}}^m$ 中的標準基向量是 $I$ 的列向量，這種選擇可以得到一個標準矩陣，就是通常情況下的 $T(\mathbf{v})=A\mathbf{v}$. 但是這些空間也有其它的基，所以同樣的變換 $T$ 還可以用其它的矩陣表示。線性代數的主要研究目的之一就是選擇出線性變換 $T$ 的最佳矩陣（對角矩陣）。
所有的向量空間 $\text{V}$ 和 $\text{W}$ 都有基，選擇每一種基都會得到 $T$ 的一個矩陣，當輸入基和輸出基不相等時，$T(\mathbf{v})=\mathbf{v}$ 的矩陣就不再是單位矩陣 $I$，而是 “基變換矩陣（change of basis matrix）”. 以下是核心思想：

假設我們已知輸入基向量 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,?,{\mathbf{v}}_n$ 的變換 $T({\mathbf{v}}_1),T({\mathbf{v}}_2),?,T({\mathbf{v}}_n)$.
則這個矩陣 $A$ 的第 $1$ 列到第 $n$ 列是這些輸出 $T({\mathbf{v}}_1),T({\mathbf{v}}_2),?,T({\mathbf{v}}_n)$. 此處輸出基向量是標準正交基向量。
$A左乘\mathbf{c}=矩陣左乘向量=A的n個列向量的線性組合$.
$A\mathbf{c}$ 就是線性組合 $c_{1}T({\mathbf{v}}_1)+c_{2}T({\mathbf{v}}_2)+?+c_{n}T({\mathbf{v}}_n)=T(\mathbf{v})$.

原因： 每個 $\mathbf{v}$ 都是基向量 ${\mathbf{v}}_j$ 唯一的線性組合 $c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+?+c_n{\mathbf{v}}_n$，由于 $T$ 是線性變換，$T(\mathbf{v})$ 一定是輸出向量 $T({\mathbf{v}}_j)$ 相同的線性組合 $c_{1}T({\mathbf{v}}_1)+c_{2}T({\mathbf{v}}_2)+?+c_{n}T({\mathbf{v}}_n)$.
例1 中給出的矩陣 $A$ 選擇的是 ${\text{R}}^2$ 和 ${\text{R}}^3$ 空間中的標準基向量。

【例1】假設變換 $T$ 將基向量 ${\mathbf{v}}_1=(1,0)$ 變換為 $T({\mathbf{v}}_1)=(2,3,4)$，將第二個基向量 ${\mathbf{v}}_2=(0,1)$ 變換為 $T({\mathbf{v}}_2)=(5,5,5)$. 如果 $T$ 是 ${\text{R}}^2$ 到 ${\text{R}}^3$ 的線性變換，則這個 “標準矩陣” 是 $3\times 2$ 的。輸出向量 $T({\mathbf{v}}_1)$ 和 $T({\mathbf{v}}_2)$ 是 $A$ 的列向量：$$A=\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ 3& 5\\ 4& 5\end{array}\right]c_1=1且c_2=1得到T({\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2)=\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ 3& 5\\ 4& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7\\ 8\\ 9\end{array}\right]$$

二、基的變換

【例2】假設輸入空間 $\text{V}={\text{R}}^2$ 也是輸出空間 $\text{W}={\text{R}}^2$，$T(\mathbf{v})=\mathbf{v}$ 是恒等變換（identity transformation），此時我們可能會認為變換矩陣就是單位矩陣 $I$，但是這只有在輸入基和輸出基相同的情況下才會出現。下面會選擇不同的基以演示矩陣是如何構造的。
對于這種特殊情況 $T(\mathbf{v})=\mathbf{v}$，這里用矩陣 $B$ 來替代 $A$，我們要將基 ${\mathbf{v}}_i$ 變換為基 ${\mathbf{w}}_i$，每個 ${\mathbf{v}}_i$ 均為 ${\mathbf{w}}_1$ 和 ${\mathbf{w}}_2$ 的線性組合。$$\begin{array}{lccc}輸入基\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 6\\ 3& 8\end{array}\right]& 輸出基\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{w}}_1& {\mathbf{w}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& 2\end{array}\right]& 基的變換& \begin{array}{c}{\mathbf{v}}_1=1{\mathbf{w}}_1+1{\mathbf{w}}_2\\ {\mathbf{v}}_2=2{\mathbf{w}}_1+3{\mathbf{w}}_2\end{array}\end{array}$$請注意！這里將輸入基 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$ 用輸出基 ${\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2$ 來表示，這是因為按照定義，恒等變換 $T$ 作用于每個輸出基向量：$T({\mathbf{v}}_1)={\mathbf{v}}_1,T({\mathbf{v}}_2)={\mathbf{v}}_2$，則這里我們將輸出向量 ${\mathbf{v}}_1$ 和 ${\mathbf{v}}_2$ 用輸出基 ${\mathbf{w}}_1$ 和 ${\mathbf{w}}_2$ 來表示。這些加粗的數字 $1,1$ 和 $2,3$ 給出了矩陣 $B$（基的變換矩陣 the change of basis matrix）的第一列和第二列：$WB=V$，所以 $B=W^{?1}V$.$$\begin{array}{lccc}基變換矩陣B& \left[\begin{array}{cc}{\mathbf{w}}_1& {\mathbf{w}}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}B\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2\end{array}\right]& 就是& \left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 6\\ 3& 8\end{array}\right]\end{array}(\mathrm{8.2.1})$$

$$\begin{array}{l}當輸入基是矩陣\text{V}的列向量，輸出基是矩陣\text{W}的列向量時，T(\mathbf{v})=\mathbf{v}的基變換矩陣是B=W^{?1}V\end{array}$$

關鍵點： 理解 $B=W^{?1}V$ 的簡單方法：假設同一個向量 $\mathbf{u}$ 分別由輸入基 ${\mathbf{v}}_i$ 和 輸出基 ${\mathbf{w}}_j$ 來表示，有下面三種方法：$$\begin{array}{lc}\mathbf{u}=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+?+c_n{\mathbf{v}}_n& \\ \mathbf{u}=d_1{\mathbf{w}}_1+d_2{\mathbf{w}}_2+?+d_n{\mathbf{w}}_n& \end{array}即\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& ?& {\mathbf{v}}_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ?\\ c_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{w}}_1& {\mathbf{w}}_2& ?& {\mathbf{w}}_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{d}_1\\ d_2\\ ?\\ d_n\end{array}\right]和Vc=Wd$$新基 ${\mathbf{w}}_j$ 的系數 $d$ 是 $d=W^{?1}Vc$，則 $B=W^{?1}V.(\mathrm{8.2.2})$
公式 $B=W^{?1}V$ 給出一個有趣的現象：當標準基 $V=I$ 變成一個不同的基 $W$ 時，基變換矩陣是不是 $W$ 而是 $B=W^{?1}V$. 大的基向量有小的系數！標準基向量 $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ 在 ${\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2$ 的這組基向量情況下的系數是 ${\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{w}}_1& {\mathbf{w}}_2\end{array}\right]}^{?1}\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$.

三、變換矩陣的構造

下面我們構造任意一個線性變換的矩陣。假設 $T$ 將 $n$ 維的空間 $\text{V}$ 變換成 $m$ 維的空間 $\text{W}$，我們在空間 $\text{V}$ 中選擇一組基 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,?,{\mathbf{v}}_n$，在空間 $\text{W}$ 中選擇一組基 ${\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,?,{\mathbf{w}}_n$，則變換矩陣 $A$ 是 $m\times n$ 的。為了求得 $A$ 的第一列，將 $T$ 作用于第一個基向量 ${\mathbf{v}}_1$，則輸出 $T({\mathbf{v}}_1)$ 在空間 $\text{W}$ 中。

$$T({\mathbf{v}}_1)是空間\text{W}輸出基的一種線性組合a_{11}{\mathbf{w}}_1+a_{21}{\mathbf{w}}_2+?+a_{m1}{\mathbf{w}}_m$$

$a_{11},a_{21},?,a_{m1}$ 這些數是 $A$ 的第一列，將 ${\mathbf{v}}_1$ 變換為 $T({\mathbf{v}}_1)$ 對應 $A$ 左乘 $(1,0,?,0)$，這給出了變換矩陣 $A$ 的第一列。當 $T$ 是求導且第一個基向量是 $1$ 時，它的導數是 $T({\mathbf{v}}_1)=0$，所以下面的導數矩陣中，第一列全為零。

【例3】$T$ 是求導運算：$T(\mathbf{v})=\frac{\text{d}v}{\text{d}x}$，此時矩陣 $A$ 是 “求導矩陣（derivate matrix）”，輸入基 ${\mathbf{v}}_i$ 是 $1,x,x^2,x^3$，輸出基 ${\mathbf{w}}_j$ 是 $1,x,x^2$：$$\begin{array}{l}如果\mathbf{v}=c_1+c_{2}x+c_3{x}^2+c_4{x}^3\\ 則\frac{d\mathbf{v}}{\text{d}x}=1c_2+2c_{3}x+3c_4{x}^2\end{array}A\mathbf{c}=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\\ c_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{c}_2\\ 2c_3\\ 3c_4\end{array}\right]$$

$關鍵準則:A的第j列是變換T作用在第j個基向量{\mathbf{v}}_j所得$
$$T({\mathbf{v}}_j)=a_{1j}{\mathbf{w}}_1+a_{2j}{\mathbf{w}}_2+?+a_{mj}{\mathbf{w}}_m是輸出基向量的線性組合(\mathrm{8.2.3})$$

這些數字 $a_{ij}$ 構成了變換矩陣 $A$. 變換矩陣可以直接得到基向量的像（basis vectors right），然后線性性質得到所有向量的像。任意向量 $\mathbf{v}$ 都可以寫成線性組合 $c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+?+c_n{\mathbf{v}}_n$，$T(\mathbf{v})$ 是基向量 ${\mathbf{w}}_j$ 的一種線性組合。當 $A$ 左乘 $\mathbf{v}$ 的組合系數向量 $\mathbf{c}=(c_1,c_2,?,c_n)$，$A\mathbf{c}$ 得到 $T(\mathbf{v})$ 關于輸出基向量的組合系數。這是因為矩陣乘法（列向量的線性組合）和 $T$ 一樣是線性的。
矩陣 $A$ 告訴了我們線性變換 $T$ 做了什么，每一個從 $\text{V}$ 到 $\text{W}$ 的線性變換都可以用一個矩陣來表示，這個矩陣取決于基的選擇。

【例4】對于積分 $T^{+}(\mathbf{v})$，第一個基函數也是 $1$，它的積分是第二個基函數 $x$，所以 “積分矩陣（integral matrix）” $A^{+}$ 的第一列是 $(0,1,0,0)$$$\begin{array}{l}{d}_1+d_{2}x+d_3{x}^2的積分是\\ d_{1}x+\frac{1}{2}{d}_2{x}^2+\frac{1}{3}{d}_3{x}^3\end{array}{A}^{+}\mathbf{d}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{d}_1\\ d_2\\ d_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ d_1\\ \frac{1}{2}{d}_2\\ \frac{1}{3}{d}_3\end{array}\right]$$如果對一個函數先積分再求導，將得到原函數，因此，$A{A}^{+}=I$. 但是如果是先求導再積分，則常數項會消失，因此 $A^{+}A$ 不是 $I$. 對 $1$ 先求導再積分的結果是零：$$T^{+}T(1)=零函數的積分=0$$這和 $A^{+}A$ 是相符的，其第一列都是零。求導變換 $T$ 有一個核（常數函數），它的矩陣 $A$ 有一個零空間。再次出現的主要思想：$A\mathbf{v}$ 表示 $T(\mathbf{v})$ 的結果。
求導和積分的例子有三個重要的點：第一，線性變換 $T$ 無處不在，例如在微積分、微分方程和線性代數中；第二，與 ${\text{R}}^n$ 不同的空間很重要，輸入空間 $\text{V}$ 和輸出空間 $\text{W}$ 都可以是函數空間；第三，如果我們先求導再積分，我們可以將它們的矩陣乘起來 $A^{+}A$ 后計算。

四、矩陣乘積 AB 對應于變換 TS

下面是一些重要內容 —— 矩陣乘法規則的真正原因。兩個線性變換 $T$ 和 $S$ 的矩陣分別是 $A$ 和 $B$，現在比較 $TS$ 和乘積 $AB$：
當將變換 $T$ 作用于 $S$ 的輸出時，由以下規則得到 $TS$：$$(TS)(\mathbf{u})定義為T(S(\mathbf{u})),輸出S(\mathbf{u})成了T的輸入.$$ 將矩陣 $A$ 作用于 $B$ 的輸出時，由以下規則得到乘積 $AB$：$$(AB)(\mathbf{x})定義為A(B(\mathbf{x})),輸出B\mathbf{x}成了A的輸入.$$$$矩陣乘法規則得到的矩陣AB是變換TS的矩陣.$$變換 $S$ 是從空間 $\text{U}$ 到空間 $\text{V}$，它的矩陣使用了空間 $\text{U}$ 的基 ${\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2,?,{\mathbf{u}}_p$ 和空間 $\text{V}$ 的基 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,?,{\mathbf{v}}_n$，這個矩陣是 $n\times p$ 的。變換 $T$ 是從空間 $\text{V}$ 到空間 $\text{W}$，它的變換矩陣一定要使用空間 $\text{V}$ 的同一組基 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,?,{\mathbf{v}}_n$，$\text{V}$ 是 $S$ 的輸出空間也是 $T$ 的輸入空間。此時矩陣 $AB$ 對應于變換 $TS$.

乘法： 線性變換 $TS$ 將 $\text{U}$ 中的任一向量變換到 $\text{V}$ 中的 $S(\mathbf{u})$，再變換到 $\text{W}$ 中的 $T(S(\mathbf{u}))$. 矩陣 $AB$ 作用于 ${\text{R}}^p$ 空間中的任一向量 $\mathbf{x}$，先得到 ${\text{R}}^n$ 中的 $B\mathbf{x}$，然后得到 ${\text{R}}^m$ 中的 $AB\mathbf{x}$. 矩陣 $AB$ 就是變換 $TS$ 的矩陣：$$TS：\text{U}\to \text{V}\to \text{W}AB：(m\times n)(n\times p)=(m\times p)$$

輸入是 $\mathbf{u}=x_1{\mathbf{u}}_1+x_2{\mathbf{u}}_2+?+x_p{\mathbf{u}}_p$，輸出 $T(S(\mathbf{u}))$ 對應于輸出 $AB\mathbf{x}$. 變換 $TS$ 的復合對應于矩陣的乘積 $AB$.
最重要的情況是空間 $\text{U,V,W}$ 均相同且均選擇相同的基，當 $m=n=p$ 時，則變換矩陣均為方陣，所以可以相乘。

【例5】$S$ 將平面逆時針旋轉 $\theta$，$T$ 也是逆時針旋轉 $\theta$，則 $TS$ 逆時針旋轉 $2\theta$，變換 $T^2$ 的對應旋轉矩陣 $A^2$ 也是逆時針旋轉 $2\theta$：$$T=SA=B{T}^2是逆時針旋轉2\theta A^2=\left[\begin{array}{cc}\cos 2\theta & ?\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{array}\right](\mathrm{8.2.4})$$通過對比變換的平方 $T^2$ 和它們矩陣的平方 $A^2$，我們可以得到 $\cos 2\theta$ 和 $\sin 2\theta$ 的公式。$A$ 乘 $A$：$$\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & ?\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & ?\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta ?{\sin }^2\theta & ?2\sin \theta \cos \theta \\ 2\sin \theta \cos \theta & {\cos }^2\theta ?{\sin }^2\theta \end{array}\right](\mathrm{8.4.5})$$比較（8.2.4）和（8.2.5）可以得到 $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta ?{\sin }^2\theta$ 和 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$. 三角公式（至少是倍角公式）可由線性代數得到。

【例6】$S$ 逆時針選擇角度 $\theta$，$T$ 逆時針選擇角度 $?\theta$，則由 $TS=I$ 可以得到 $AB=I$. 該情形下 $T(S(\mathbf{u}))$ 就是 $\mathbf{u}$，旋轉后又旋轉回來了。相應的矩陣表示，$AB\mathbf{x}$ 一定就是 $\mathbf{x}$，這兩個矩陣互為逆矩陣。將 $\cos (?\theta )=\cos \theta$ 和 $\sin (?\theta )=?\sin \theta$ 代入旋轉矩陣 $A$ 中即可驗證：$$AB=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ ?\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & ?\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta & 0\\ 0& {\cos }^{\theta }+{\sin }^2\theta \end{array}\right]=I$$

五、選擇最佳基

下面是本節的最后一部分：選擇最佳基使得變換矩陣為對角矩陣。使用標準基（$I$ 的列向量）時，變換 $T$ 的矩陣 $A$ 可能不是對角矩陣；當使用不同的基時，同樣的變換 $T$ 會由不同的矩陣表示。選擇基向量時，兩個很好的選擇是特征向量和奇異向量：$$\begin{array}{l}特征向量如果變換T將{\text{R}}^n映射到{\text{R}}^n，則它的矩陣A是個方陣。但是使用標準基時，矩陣A可能不是\\ 對角的。如果A有n個線性無關的特征向量，選擇它們作為輸入和輸出基，使用這組“好基”時，T的變換\\ 矩陣為\Lambda ，其對角元素是A的特征值。\end{array}$$【例7】投影矩陣 $T$ 將 ${\text{R}}^2$ 中的每個向量 $\mathbf{v}=(x,y)$ 投影到直線 $y=?x$ 上。若使用標準基，${\mathbf{v}}_1=(1,0)$ 的投影為 $T({\mathbf{v}}_1)=(\frac{1}{2},?\frac{1}{2})$；${\mathbf{v}}_2=(0,1)$ 的投影為 $T({\mathbf{v}}_2)=(?\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，這些投影構成了 $A$ 的列：$$\begin{array}{l}標準基下的\\ 投影矩陣是\\ 非對角矩陣\end{array}A=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& ?\frac{1}{2}\\ ?\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]有A^T=A且A^2=A$$下面是關于選取特征向量作為基向量的情況，可以對角化變換矩陣！
當基向量是原變換矩陣 $A$ 的特征向量時，變換矩陣將變為對角矩陣。$$\begin{array}{l}{\mathbf{v}}_1={\mathbf{w}}_1=(1,?1)投影到自身：T({\mathbf{v}}_1)={\mathbf{v}}_1，對應{\lambda }_1=1\\ {\mathbf{v}}_2={\mathbf{w}}_2=(1,1)投影到零向量：T({\mathbf{v}}_2)=0，對應{\lambda }_2=0\end{array}$$$$\begin{array}{l}特征向量基\\ 對應對角矩陣\end{array}新的變換矩陣是\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right]=\Lambda (\mathrm{8.2.6})$$特征向量是完美的基向量，它們給出特征值矩陣 $\Lambda$.
當輸入基和輸出基相同但并不一定是特征向量時會怎樣的？將這些基向量 ${\mathbf{b}}_i$ 作為 $B$ 的列，則基變換矩陣（從標準基到新基）是 $B_{\text{in}}=B$，$B_{\text{out}}=B^{?1}$，$T$ 新的變換矩陣和 $A$ 相似：

新基 ${\mathbf{b}}_i$ 的變換矩陣 $A_{\text{new}}=B^{?1}AB$ 與標準基的變換矩陣 $A$ 相似：$$A_{{\mathbf{b}}_i到{\mathbf{b}}_i}=B_{標準基到{\mathbf{b}}_i}^{?1}{A}_{標準基}{B}_{{\mathbf{b}}_i到標準基}(\mathrm{8.2.7})$$

原因： 設標準基下的坐標向量為 $\mathbf{v}$，變換矩陣是 $A$。新基矩陣為 $B$，新的變換矩陣是 $A_{\text{new}}$. $\mathbf{v}$ 在新基的坐標可以由 $\mathbf{v}=B\mathbf{x}$ 求得，即新基下的坐標向量 $\mathbf{x}=B^{?1}\mathbf{v}$，其中 $B^{?1}$ 即為基變換矩陣。經變換 $T$ 作用后的坐標為 $A_{\text{new}}\mathbf{x}=A_{\text{new}}{B}^{?1}\mathbf{v}$。而 $\mathbf{v}$ 在標準基下經過 $T$ 變換后為 $A\mathbf{v}$，將其轉換為新基的坐標即為 $B^{?1}A\mathbf{v}$，這兩者應相等，即 $A_{\text{new}}{B}^{?1}\mathbf{v}=B^{?1}A$，即可求得 $A_{\text{new}}=B^{?1}AB$！
這里也可以通過變換的乘積法則理解：對于變換 $ITI$，$I$ 是恒等變換，它們的矩陣分別是 $B^{?1},A,B$. 矩陣 $B$ 是由標準基下的輸入向量 ${\mathbf{b}}_i$ 組成。將其理解成左乘，即先是基變換矩陣由新基到標準基 $B$，然后在標準基下進行變換得 $AB$，最后再變換為新基即得到 $B^{?1}AB$.
最后考慮 $V$ 和 $W$ 是不同的空間情形，此時有不同的基 ${\mathbf{v}}_i$ 和 ${\mathbf{w}}_j$. 當我們選定基后且給出變換 $T$，我們可以得到一個矩陣 $A$，此時 $A$ 可能不是對稱的，甚至可能不是方陣，但是我們總可以選擇出基 ${\mathbf{v}}_i$ 和 ${\mathbf{w}}_j$ 使得這個矩陣是對角矩陣。這個矩陣就是奇異值分解 $A=U\Sigma V^T$ 中的奇異值矩陣 $\Sigma =\text{diag}({\sigma }_1,{\sigma }_2,?,{\sigma }_r)$，其中 $\text{diag}({\sigma }_1,{\sigma }_2,?,{\sigma }_r)$ 是 MATLAB 中的函數，表示對角元素是 ${\sigma }_1,{\sigma }_2,?,{\sigma }_r$ 的對角矩陣。$$\begin{array}{l}奇異向量\text{SVD}給出了U^{?1}AV=\Sigma ，右奇異值向量{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,?,{\mathbf{v}}_n是輸入基，左奇異值向量{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2,?,{\mathbf{u}}_m\\ 是輸出基。由矩陣的乘法法則，在這些新基下的同樣的變換矩陣為B_{\text{out}}^{?1}A{B}_{\text{in}}=U^{?1}AV=\Sigma .\end{array}$$這里就不能稱 $\Sigma$ 和 $A$ “相似” 了。現在是有兩個基，輸入基和輸出基，它們都是標準正交基所以保持了向量的長度。這里我們可以稱 $\Sigma$ 和 $A$ 是 “等距的（isometric）”。$$定義如果Q_1和Q_2均為正交矩陣，則C=Q_1^{?1}A{Q}_2與A等距.$$【例8】為了構造變換 $T=\frac{\text{d}}{\text{d}x}$ 的矩陣 $A$，我們選擇了輸入基 $1,x,x^2,x^3$ 和輸出基 $1,x,x^2$，矩陣 $A$ 很簡單但可惜的是它并不是對角矩陣。但是我們可以取每組基的反序。
現在輸入基是 $x^3,x^2,x,1$，輸出基是 $x^2,x,1$，基變換矩陣 $B_{\text{in}}$ 和 $B_{\text{out}}$ 是置換矩陣。$T(\mathbf{u})=\frac{\text{d}\mathbf{u}}{\text{d}x}$ 在新基下的變換矩陣是對角奇異值矩陣 $B_{\text{out}}^{?1}A{B}_{\text{in}}=\Sigma$，且奇異值 ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3=3,2,1$：$$B_{\text{out}}^{?1}A{B}_{\text{in}}=\left[\begin{array}{ccc}& & 1\\ & 1& \\ 1& & \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}& & & 1\\ & & 1& \\ & 1& & \\ 1& & & \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}3& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right](\mathrm{8.2.8})$$從上式可以看到 $x^3$

六、主要內容總結

1. 如果我們已知一組基的線性變換 $T({\mathbf{v}}_1),T({\mathbf{v}}_2),?,T({\mathbf{v}}_n)$，那么線性性質將會決定其它所有的變換 $T(\mathbf{v})$.
2. 線性變換 $T$ 的輸入基是 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,?,{\mathbf{v}}_n$，輸出基是 ${\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,?,{\mathbf{w}}_m$，則存在 $m\times n$ 的矩陣 $A$ 來表示這個線性變換。
3. 基變換矩陣 $B=W^{?1}V=B_{\text{out}}^{?1}{B}_{\text{in}}$ 表示恒等變換 $T(\mathbf{v})=\mathbf{v}$.
4. 如果矩陣 $A$ 和 $B$ 分別表示變換 $T$ 和 $S$，并且 $S$ 的輸出基是 $T$ 的輸入基，則矩陣 $AB$ 表示變換 $T(S(\mathbf{u}))$.
5. 最佳的輸入-輸出基是 $A$ 特征向量或奇異向量，且$$B^{?1}AB=\Lambda =特征值矩陣B_{\text{out}}^{?1}A{B}_{\text{in}}=\Sigma =奇異值矩陣$$

七、例題

【例9】$2\times 2$ 的矩陣空間有下面四個 “向量” 作為一組基：$${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]{\mathbf{v}}_4=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$線性變換 $T$ 是轉置每個 $2\times 2$ 的矩陣，那么在這組基下表示變換 $T$ 的矩陣 $A$ 是什么（輸入基 = 輸出基）？逆矩陣 $A^{?1}$ 是什么？轉置變換的逆變換 $T^{?1}$ 是什么？
解： 轉置這四個 “基矩陣” 僅僅是交換 ${\mathbf{v}}_2$ 和 ${\mathbf{v}}_3$：$$\begin{array}{l}T({\mathbf{v}}_1)={\mathbf{v}}_1\\ T({\mathbf{v}}_2)={\mathbf{v}}_3\\ T({\mathbf{v}}_3)={\mathbf{v}}_2\\ T({\mathbf{v}}_4)={\mathbf{v}}_4\end{array}給出了變換矩陣的四列A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$逆矩陣 $A^{?1}$ 和 $A$ 相同，逆變換 $T^{?1}$ 和 $T$ 相同。如果我們轉置兩次，最終得到的矩陣和原始矩陣相同。
注意 $2\times 2$ 的矩陣空間是 $4$ 維的，所以矩陣 $A$（轉置變換 $T$ 的變換矩陣）是 $4\times 4$ 的，$A$ 的零空間是 $Z$，$T$ 的核是零矩陣 —— 轉置后為零矩陣的只有零矩陣。$A$ 的特征值是 $1,1,1,?1$.
對應特征值 $\lambda =?1$，即滿足 $T(A)=A^T=?A$ 的 “矩陣直線” 是什么？反對稱矩陣！