寫的又回去了，因為我發現我理解不夠透徹，反正想到啥寫啥，盡量保證內容質量好簡潔易懂

2D平行束投影公式

$p(s,\theta )=\int \int f(x,y)\delta (xcos\theta +ysin\theta ?s)dxdy$式1
$p(s,\theta )=\int f(scos\theta ?tsin\theta ,ssin\theta +tcos\theta )dt$式2
$p(s,\theta )=\int f(s\vec{\theta }+t\vec{\theta })dt$式3
$p(s,\theta )=\int f_{\theta }(s,t)dt$式4
這些公式來自醫學圖像重建1.5節，這些都是2D平行束投影公式（我偷懶沒寫積分的上下限）。
$s$表示探測器像素單元的坐標，$\theta$表示投影角度。
$f(x,y)$為物體截面的線衰減系數。
$xcos\theta +ysin\theta =s$是平面直線方程的一種寫法（Hesse Normal Form，見https://leslielee.blog.csdn.net/article/details/145670396），表示投影角度為$\theta$投影至探測器坐標$s$處的射線。

式1

$\delta (z)$是一個廣義函數，具有篩選的性質（見https://leslielee.blog.csdn.net/article/details/144859730，但由于我的數學水平不夠，這篇寫的比較差勁）
給定$s,\theta$后，若固定$y$，則式1中位于里面的積分可寫作：
$\int f(x,\bar{y})\delta (xcos\bar{\theta }+\bar{y}sin\bar{\theta }?\bar{s})dx=f(\tilde{x},\bar{y})$
其中，$\tilde{x}cos\bar{\theta }+\bar{y}sin\bar{\theta }=\bar{s}$，即$(\tilde{x},\bar{y})$在直線$xcos\bar{\theta }+ysin\bar{\theta }=\bar{s}$上。
給定$s,\theta$后，遍歷所有的$y$（式1中位于外面積分的作用），便可實現將位于直線$xcos\bar{\theta }+ysin\bar{\theta }=\bar{s}$上的$f(x,y)$進行求和。
因此，式1得到的是位于直線$xcos\theta +ysin\theta =s$上的$f(x,y)$的和。

若令$\vec{\theta }=(cos\theta ,sin\theta )$，$\vec{x}=(x,y)$，則式1可得到向量寫法：
$p(s,\theta )=\int \int f(x,y)\delta (\vec{x}?\vec{\theta }?s)dxdy$

式2

$(x,y)$要位于直線$xcos\theta +ysin\theta =s$上才可計算線積分。因此，$x=scos\theta ?tsin\theta ,y=ssin\theta +tcos\theta$必然已經將$(x,y)$約束至直線$xcos\theta +ysin\theta =s$上。

定義$t$，令$x=scos\theta ?tsin\theta ,y=ssin\theta +tcos\theta$，將$x,y$帶入直線方程中得到：
$(scos\theta ?tsin\theta )cos\theta +(ssin\theta +tcos\theta )sin\theta =s$
進一步化簡可得：
$s=s$
因此，$x=scos\theta ?tsin\theta ,y=ssin\theta +tcos\theta$ 等效于 $xcos\theta +ysin\theta =s$，即將$(x,y)$約束至直線$xcos\theta +ysin\theta =s$上。
（那是如何才能想到這么表示$x,y$呢，對此我咨詢了元寶，元寶告我跟旋轉矩陣相關。）

$x=scos\theta ?tsin\theta ,y=ssin\theta +tcos\theta$ 可寫成向量矩陣形式：
（見https://leslielee.blog.csdn.net/article/details/135566902）
$\left[\begin{array}{cc}cos\theta & ?sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$
$x,y$是$s,t$逆時針旋轉得到的。

那么，$s,t$是$x,y$順時針旋轉得到的，可得到表達式：
$\left[\begin{array}{cc}cos\theta & sin\theta \\ ?sin\theta & cos\theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right]$
這樣我們便可明白，$t=?xsin\theta +ycos\theta$，式2給的$t$并不是沒有限制的。
直線$?xsin\theta +ycos\theta =t$與$xcos\theta +ysin\theta =s$垂直，因為$(?sin\theta ,cos\theta )?(cos\theta ,sin\theta )=0$。

給定$s,\theta$后，遍歷所有$t$便可取到直線$xcos\theta +ysin\theta =s$上的所有$(x,y)$點。

式3

令${\vec{\theta }}^{\perp }=(?sin\theta ,cos\theta )$
將$s\vec{\theta }+t{\vec{\theta }}^{\perp }$展開便得到：$(scos\theta ?tsin\theta ,ssin\theta +tcos\theta )$
而函數$f$是一個二元函數，自變量是$x,y$，因此有：
$scos\theta ?tsin\theta =x$
$ssin\theta +tcos\theta =y$
這不就是表示$(x,y)$是由$(s,t)$逆時針旋轉$\theta$得到的。
因此，式3是式2的向量寫法。

式4

令$f_{\theta }(s,t)=f(scos\theta ?tsin\theta ,ssin\theta +tcos\theta )$，便得到式4。

式1表示射線源與探測器同時逆時針旋轉（射線旋轉），物體不動。式2表示物體順時針旋轉，射線不動。