切比雪夫不等式專題習題解析

前言

本文為概率論習題集專欄的切比雪夫不等式專題習題解析，針對習題篇中的10道題目提供詳細解答。希望通過這些解析幫助大家深入理解切比雪夫不等式的應用和意義。

一、基礎概念題解析

習題1解析：

1. 錯誤。切比雪夫不等式適用于任何具有有限方差的隨機變量，包括離散型和連續型隨機變量。它只要求隨機變量的期望和方差存在有限值。

2. 錯誤。切比雪夫不等式給出的是概率的上界：$P(|X?E(X)|\ge \epsilon )\le \frac{D(X)}{{\epsilon }^2}$，或等價地，給出概率的下界：$P(|X?E(X)|<\epsilon )\ge 1?\frac{D(X)}{{\epsilon }^2}$。

3. 正確。由切比雪夫不等式，$P(|X?E(X)|\ge 2\sigma )\le \frac{D(X)}{(2\sigma {)}^2}=\frac{{\sigma }^2}{4{\sigma }^2}=\frac{1}{4}=0.25$。

4. 正確。當$D(X)\to 0$時，由切比雪夫不等式，對于任意$\epsilon >0$，$P(|X?E(X)|\ge \epsilon )\le \frac{D(X)}{{\epsilon }^2}\to 0$，即$P(|X?E(X)|<\epsilon )\to 1$。這意味著隨機變量X幾乎必然等于其期望值。

習題2解析：

1. $P(|X?10|\ge 6)\le \frac{D(X)}{6^2}=\frac{9}{36}=0.25$

2. $P(7\le X\le 13)=P(|X?10|<3)\ge 1?\frac{D(X)}{3^2}=1?\frac{9}{9}=0$

   這里得到的下界為0，實際上不具有信息量。這表明切比雪夫不等式在某些情況下可能不夠緊。實際上，正確的計算應該是：

   $P(7\le X\le 13)=P(|X?10|\le 3)\ge 1?\frac{D(X)}{3^2}=1?\frac{9}{9}=0$

   由于此處邊界情況（$|X?10|=3$）的概率通常為0（對連續變量），所以也可以寫成：

   $P(7<X<13)=P(|X?10|<3)\ge 1?\frac{9}{9}=0$

3. $P(|X?10|\ge 3)\le \frac{D(X)}{3^2}=\frac{9}{9}=1$

   這個上界為1，顯然不夠緊，因為任何概率都不會超過1。

二、計算應用題解析

習題3解析：

1. 壽命在700小時到1300小時之間的燈泡比例：

   $P(700\le X\le 1300)=P(|X?1000|\le 300)\ge 1?\frac{}{300^2}$