Eikonal方程是一類非線性偏微分方程，形式為 ( |\nabla u(x)| = f(x) )，常見于波傳播、幾何光學、最短路徑等問題。以下是數值求解Eikonal方程的方法及開源實現參考：

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一、數值求解方法

1. 有限差分法（FDM）

   • 快速行進法（Fast Marching Method, FMM）：基于上風差分和堆排序，復雜度為 ( O(N \log N) )。
   • 快速掃描法（Fast Sweeping Method, FSM）：通過交替方向迭代求解，復雜度 ( O(N) )，適合并行化。

2. 有限元法（FEM）

   • 適用于復雜幾何邊界，但計算成本較高。

3. 基于深度學習的方法

   • 近年出現用神經網絡近似解的嘗試（如Physics-Informed Neural Networks, PINNs）。

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二、開源實現參考

1. Python庫

• scikit-fmm

  • 基于Fast Marching Method的輕量級庫。
  • 示例：

    from skfmm import distance
    import numpy as np
    phi = np.ones((100, 100))
    phi[50, 50] = -1  # 設置源點
    d = distance(phi)  # 計算距離場
    

• PyFastMarching

  • 另一FMM實現，支持2D/3D。

2. C++庫

• TTK (The Topology ToolKit)

  • 包含FMM和FSM的實現，支持大規模數據。
  • 鏈接：https://topology-tool-kit.github.io/

• OpenFPM

  • 支持并行化求解，適合高性能計算場景。

3. MATLAB工具

• Toolbox Fast Marching
  • 包含FMM和FSM的MATLAB實現。
  • 鏈接：https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/6110-toolbox-fast-marching

4. Julia庫

• FastMarching.jl
  • Julia語言的快速實現，支持非均勻網格。

5. 其他

• FIM (Fast Iterative Method)
  • 一種改進的FMM，適合GPU加速（可參考GitHub開源代碼）。

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三、選擇建議

• 簡單場景：用scikit-fmm（Python）或MATLAB工具箱。
• 高性能需求：選擇C++庫（如TTK或OpenFPM）。
• 復雜幾何：嘗試有限元法（如FEniCS項目擴展）。

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四、學習資源

1. 書籍：
   • Level Set Methods and Fast Marching Methods (J.A. Sethian).
2. 論文：
   • FMM原始論文（Sethian, 1996）；FSM論文（Zhao, 2005）。
3. 教程：
   • scikit-fmm官方文檔；TTK的案例教程。

通過結合上述工具和方法，可高效求解Eikonal方程。實際應用中需根據問題規模、精度需求和計算環境選擇合適方案。