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注：本文為“遇見數學”翻譯的 “數學分支概覽” 兩篇文章合輯。

數學世界的版圖：主要分支概覽（上）

原創遇見數學 2025 年 04 月 03 日 12:02 河南

數學的分支（Areas of Mathematics）

在文藝復興之前，數學主要分為兩個領域：算術（Arithmetic，關于數的運算）和幾何（Geometry，關于形狀的研究）。當時，一些偽科學，如數字占卜（Numerology）和占星術（Astrology），并未與數學嚴格區分開來。

文藝復興時期，兩個新的領域逐漸發展起來：代數（Algebra）和微積分（Calculus）。數學符號的發展推動了代數的誕生，廣義上講，它是對公式的研究與操作。微積分，包括微分學（Differential Calculus）和積分學（Integral Calculus）兩個子領域，研究連續變化的函數，這些函數通常用來構建非線性的變量之間的關系。這種將數學劃分為四大領域（算術、幾何、代數、微積分）的方式，一直持續到 19 世紀末。

像天體力學（Celestial Mechanics）和固體力學（Solid Mechanics）這樣的學科，最初由數學家研究，但現在通常歸入物理學的范疇。組合數學（Combinatorics）雖然在有記載的歷史中早已被研究，但直到 17 世紀才被視為數學的一個獨立分支。

19 世紀末，數學基礎危機的爆發以及隨之而來的公理化方法的系統化，催生了大量新的數學分支。

《2020 年數學學科分類》（Mathematics Subject Classification）列出了不少于 63 個一級學科。

其中一些延續了傳統劃分方式，例如數論（即 “高等算術” 的現代稱呼）和幾何；另一些領域雖不以 “幾何” 命名，卻依然被認為屬于幾何學范疇。而 “代數” 和 “微積分” 雖不再作為一級學科出現，但分別被拆分為多個一級領域。還有一些一級領域是在 20 世紀出現的，或者此前并不被視為數學的一部分，如數理邏輯和數學基礎。

數論（Number Theory）

這張圖展示的是烏拉姆螺旋（Ulam Spiral），用于可視化質數的分布。圖中沿對角線的深色點，暗示了一個猜想：質數在某些二次多項式取值中近似呈獨立分布，這一猜想現被稱為哈代 - 李特爾伍德猜想 F（Hardy–Littlewood Conjecture F）。

這張圖展示的是烏拉姆螺旋（Ulam Spiral），用于可視化質數的分布。圖中沿對角線的深色點，暗示了一個猜想：質數在某些二次多項式取值中近似呈獨立分布，這一猜想現被稱為哈代 - 李特爾伍德猜想 F（Hardy–Littlewood Conjecture F)。

數論起初是對自然數的研究，后來擴展到整數和有理數。數論曾被稱為 “算術”，但在當今，“算術” 一詞主要用于指基礎的數值計算。

數論的歷史可以追溯到古巴比倫，或可能更早的中國。古希臘的歐幾里得與亞歷山大的丟番圖是早期著名的數論學者。現代抽象數論的奠基者被認為是皮埃爾?費馬與萊昂哈德?歐拉，而勒讓德和高斯的貢獻則使該領域逐漸完善。

許多表述簡單的數論問題，其解法卻需要高度復雜的數學工具，往往跨越多個數學分支。

例如，費馬大定理由費馬在 1637 年提出，但直到 1994 年才由安德魯?懷爾斯證明，他運用了包括代數幾何中的概形理論、范疇論和上同調代數等工具。

另一個著名問題是哥德巴赫猜想，即每個大于 2 的偶數都可以表示為兩個質數之和。該猜想由克里斯蒂安?哥德巴赫于 1742 年提出，盡管已有大量研究成果，但至今仍未被證明。

數論的子領域包括：

解析數論（Analytic Number Theory）
代數數論（Algebraic Number Theory）
幾何數論（方法導向，Geometry of Numbers）
丟番圖方程（Diophantine Equations）
超越數論（問題導向，Transcendence Theory）

幾何（Geometry）

在球面上，歐幾里得幾何僅適用于局部近似。若在更大尺度上，三角形的內角和將不等于。

幾何是最古老的數學分支之一。它起源于對形狀的經驗性研究，如直線、角度和圓，最初主要為測量和建筑服務，后來發展出眾多子領域。

古希臘人開創性的引入了 “證明” 的概念，強調每一個命題都需經邏輯推導加以證明。例如，不能僅憑測量判斷兩個線段相等，而應從已知定理和基本前提出發，通過推理得出其等值。這些基本前提包括公設（Postulates，不需證明的自明真理）與公理（Axioms，作為研究對象定義一部分的陳述）。這一原則成為整個數學的基礎，最早在幾何中進行系統化，由歐幾里得在公元前約 300 年所著《幾何原本》中完整闡述。

“在古希臘傳統中，‘公設’通常指幾何直觀的規則，而‘公理’更偏向邏輯推理的基礎前提。在現代數學中，這一區分已無實際作用，二者統一歸入‘公理系統’。”

由此形成的歐幾里得幾何（Euclidean Geometry），研究由線、面、圓等構成的二維（平面幾何）與三維歐幾里得空間中的圖形結構。

幾何的研究方法與范圍從古至今變化不大，直到 17 世紀，笛卡爾引入了笛卡爾坐標系，帶來了范式的重大變革。通過將點的位置用數值坐標表示，幾何問題開始可以借助代數（甚至微積分）來解決。

幾何由此分化出兩個新分支：

綜合幾何（Synthetic Geometry）：僅依賴幾何構造與邏輯推理
解析幾何（Analytic Geometry）：使用坐標系統研究幾何問題

解析幾何使得研究拋物線、橢圓等任意曲線成為可能，這些研究推動了：

微分幾何（Differential Geometry）：研究函數圖像定義的曲線與曲面
代數幾何（Algebraic Geometry）：研究由多項式方程定義的幾何對象
更高維歐幾里得空間

19 世紀，數學家發現了不滿足平行公設的非歐幾何（Non-Euclidean Geometry）。

通過質疑該公設的真實性，這一發現與羅素悖論一起被視為揭示了數學的基礎危機。這一危機的解決方案是系統化公理方法，并接受公理的選取是人為設定的前提。

這一方法的確立，使得數學家能研究不同公理系統下的幾何，或在特定變換下保持不變的性質。

現代幾何的子領域包括：

射影幾何：由吉拉德?笛沙格于 16 世紀提出，引入無窮遠點，使得所有直線相交，統一了平行線和交點的處理。
仿射幾何：研究與平行性相關、但與長度無關的幾何性質。
微分幾何：研究由可微函數定義的曲線、曲面及其推廣。
流形理論：研究不一定嵌入在更高維空間中的幾何對象。
黎曼幾何：研究曲率空間中的距離與測度。
代數幾何：研究由多項式方程定義的幾何對象。
拓撲學：研究在連續變形下保持不變的性質。
代數拓撲：用代數方法（如上同調代數）研究拓撲問題。
離散幾何：研究有限圖形配置的幾何性質。
凸幾何：研究凸集，廣泛用于最優化問題。
復幾何：將實數替換為復數后得到的幾何結構。

代數（Algebra）

魔方群是群論的一個具體應用。

代數是方程與公式的操作藝術。丟番圖（3 世紀）和花拉子米（9 世紀）是代數的兩位奠基者。

丟番圖通過邏輯推導與變換關系，解出含有自然數解的方程。花拉子米則引入了系統的方程變換方法，如移項等。“代數” 一詞來自阿拉伯語 al-jabr，意為 “復原”，這是他用于命名其主要著作中一種方法的詞語。

弗朗索瓦?韋達 (Fran?ois Viète)

直到 16 世紀末，法國數學家弗朗索瓦?韋達引入用字母分別表示已知數和未知數，為代數表達式的形成奠定基礎，使其成為一門獨立學科。變量的使用使數學家可以用公式表示運算步驟。

19 世紀前，代數主要研究線性方程（即線性代數）和一元多項式方程（即所謂的代數方程）。19 世紀中期起，數學家開始用變量表示非數值的對象（如矩陣、模算術、幾何變換等），這些對象也遵循類數的運算規則。

于是，代數結構的概念出現：一個集合、其上的運算、以及這些運算所遵循的規則。該方向發展為現代代數或抽象代數，其體系由艾米?諾特等人確立。

某些代數結構在數學中具有基礎性意義，并作為代數的子領域獨立發展，例如：

群論（Group Theory）
域（Field Theory）
向量空間（Vector Spaces，即線性代數）
環論（Ring Theory）
交換代數（研究交換環與多項式，是代數幾何的基礎）
同調代數（Homological Algebra）
李代數與李群（Lie Algebra and Lie Groups）
布爾代數（Boolean Algebra，廣泛用于計算機邏輯結構）

此外，泛代數（Universal Algebra）與范疇論（Category Theory）研究各種代數結構的共性。范疇論最初是為系統化代數拓撲（Algebraic Topology）中的結構與映射而發展出來的，后來成為研究各種數學結構之間共性的強大工具。

數學世界的版圖：主要分支概覽（下）

原創遇見數學 2025 年 04 月 04 日 15:16 河南

微積分與分析

柯西序列（Cauchy sequence）是指一個數列，其后續項之間會隨著數列的推進而無限接近。

柯西序列（Cauchy sequence) 是指一個數列，其后續項之間會隨著數列的推進而無限接近。

微積分，舊稱 “無窮小微積分”（infinitesimal calculus），由 17 世紀的數學家牛頓和萊布尼茨各自獨立且同時創立。它本質上是研究彼此依賴的變量之間關系的數學。18 世紀，歐拉引入了函數的概念，并推動了該理論的進一步發展。

如今，“微積分” 通常指該理論的基礎部分，而數學分析（analysis）則被用來指代更高級的內容。

數學分析進一步細分為：

實分析（Real analysis）：研究實數變量的性質
復分析（Complex analysis）：研究復數變量的性質

此外，分析還包含許多與其他數學領域交叉的子領域，包括：

多變量微積分（Multivariable calculus）
泛函分析（Functional analysis）：研究函數空間及其變換
積分、測度論（Measure theory）與位勢論（Potential theory）：與連續概率論密切相關
常微分方程（Ordinary differential equations）
偏微分方程（Partial differential equations）
數值分析（Numerical analysis）：主要研究如何在計算機上求解常微分或偏微分方程等應用問題中的數值解

離散數學（Discrete mathematics）

下圖展示了一個兩狀態馬爾可夫鏈（Markov chain），狀態用 A 和 E 表示，數字表示狀態轉換的概率。

上圖展示了一個兩狀態馬爾可夫鏈（Markov chain)，狀態用 A 和 E 表示，數字表示狀態轉換的概率。

離散數學廣義上是研究離散的、可數的數學對象。例如，全體整數集合就是一個典型例子。由于研究對象是離散的，微積分和數學分析的方法通常不適用。

算法（Algorithms），特別是它們的實現方式和計算復雜性，在離散數學中具有重要地位。

20 世紀下半葉，四色定理（Four color theorem）和開普勒猜想（Kepler conjecture，最優球堆積問題 / Optimal sphere packing）是兩個被解決的重要離散數學難題。P vs NP 問題至今未解，它的答案可能對大量計算復雜的問題產生深遠影響。

離散數學的主要領域包括：

組合數學（Combinatorics）：研究如何在特定限制條件下計數各種數學對象。最初這些對象是集合的元素或子集，后來擴展到更廣泛的結構，從而與其他離散數學分支建立了密切聯系。例如，離散幾何（Discrete geometry）研究幾何圖形的組合配置。
圖論（Graph theory）與超圖（Hypergraphs）
編碼理論（Coding theory）：包括糾錯碼和部分密碼學內容
擬陣理論（Matroid theory）
離散幾何（Discrete geometry）
離散概率分布（Discrete probability distributions）
博弈論（Game theory）：雖然也研究連續博弈，但大多數常見游戲如國際象棋和撲克都是離散的
離散優化（Discrete optimization）：包括組合優化、整數規劃和約束規劃

數學邏輯與集合論

維恩圖（Venn diagram）是一種常用的集合關系可視化工具。

維恩圖（Venn diagram) 是一種常用的集合關系可視化工具。

數學邏輯和集合論自 19 世紀末起成為數學的正式分支。在此之前，集合尚未被視為數學對象，而邏輯雖然用于證明，但仍屬于哲學范疇，并非數學家專門研究的領域。

在康托爾研究無窮集合之前，數學家普遍避免使用 “實際無窮” 的概念，只將無窮視為永無止境的過程。康托爾提出了實際無窮集合的概念，并通過對角論證法（Cantor’s diagonal argument）說明無窮集合之間可以有不同的 “大小”，這在當時引起了巨大的爭議。

同時，多個數學分支開始意識到，舊有關于基本數學對象的直覺定義不足以維持數學的嚴密性，這引發了所謂的 “數學基礎危機”（foundational crisis）。

這一危機最終通過在形式化集合論中系統化公理化方法而得到主流解決。粗略地說，每一個數學對象都通過描述它所屬的一類對象及其所滿足的性質來定義。例如，在皮亞諾公理（Peano axioms）中，自然數通過如下公理定義 (大致)：

“0 是一個數”
“每個數都有唯一的后繼”
“除 0 外，每個數都有唯一的前驅”
加上一些推理規則

這種將數學從現實中抽象出來的方式，體現在由希爾伯特于約 1910 年提出的形式主義哲學之中。

這種方法也使得邏輯系統（即推理規則的集合）、定理、證明等可以作為數學對象加以研究。例如，哥德爾不完全性定理（G?del’s incompleteness theorems）大致指出：在任何包含自然數的自洽形式系統中，必然存在一些命題，它們雖然在該系統中無法被證明，但在添加更多公理或更強表達能力的系統中可以被證明為真。

這一基礎方法在 20 世紀上半葉遭遇挑戰，尤其是由布勞威爾（L.E.J. Brouwer）領導的數學家群體推廣的直覺主義邏輯（intuitionistic logic），其顯著特征是不承認排中律（law of excluded middle）。

這些問題和爭論推動了數學邏輯的廣泛發展，形成了如下子領域：