一、矩陣加減法數學原理

1.1 定義

• ?逐元素操作：運算僅針對相同位置的元素，不涉及矩陣乘法或行列變換。
• ?交換律與結合律：
  加法滿足交換律（A + B = B + A）和結合律（ ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ）。
  ?減法不滿足交換律（A ? B ≠ B ? A）。

1.2 公式

?$$C_{ij}=A_{ij}+B_{ij}\text{(矩陣加法)}$$
$$C_{ij}=A_{ij}?B_{ij}\text{(矩陣減法)}$$

?前提條件：兩個矩陣的行列數必須相同。

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二、SIMD指令集簡介

2.1 AVX2基礎

• 256位寄存器（__m256），單寄存器可存儲8個float。
• 關鍵指令：

_mm256_load_ps()    // 從對齊內存加載數據到寄存器  
_mm256_add_ps()     // 寄存器加法
_mm256_sub_ps()     // 寄存器減法  
_mm256_store_ps()   // 將寄存器數據存回內存  

2.2 頭文件

#include <immintrin.h>  // AVX指令集頭文件  

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三、SIMD優化矩陣加法實現

3.1 內存管理與對齊

Matrix(size_t rows, size_t cols): rows_(rows), cols_(cols),data_(static_cast<float*>(_aligned_malloc(rows* cols * sizeof(float), kSimdAlignment))) {if (!data_) throw std::bad_alloc();// 顯式初始化內存為0std::memset(data_, 0, rows * cols * sizeof(float));
}~Matrix() { _aligned_free(data_); }

• 功能：確保矩陣數據內存按32字節對齊（AVX2指令集要求）
• ?關鍵點：
  a) 使用 _aligned_malloc 分配對齊內存
  b) 析構時通過 _aligned_free 釋放內存
  c) 內存不足時拋出 bad_alloc 異常

3.2 二維下標訪問

class RowProxy {
public:float& operator[](size_t col) {if (col >= cols_) throw std::out_of_range("Column index out of range");return row_start_[col];}// ...
};RowProxy operator[](size_t row) {if (row >= rows_) throw std::out_of_range("Row index out of range");return RowProxy(data_ + row * cols_, cols_);
}

• 設計目標：實現類似原生二維數組的 matrix[i][j] 語法
• 實現原理：
  a) operator[] 返回臨時代理對象 RowProxy
  b) 代理對象二次重載 operator[] 實現列訪問
  c) 每次訪問自動驗證行列索引合法性
• 優勢：
  a) 語法直觀：mat[1][2] = 3.0f;
  b) 安全性：自動邊界檢查
  c) 性能：代理對象輕量（僅存儲指針和列數）

3.3 SIMD優化加減法

Matrix add_simd(const Matrix& other) const {validate_dimension(other); // 維度校驗Matrix result(rows_, cols_);// AVX指令處理主體數據（每次8個float）