這段代碼實現了一個多重背包問題的動態規劃解法，并且使用了二進制拆分（或稱二進制優化）來優化物品的數量處理。這種方法可以顯著減少狀態轉移的次數，提高算法的效率。以下是代碼的詳細思路解析：

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1. 問題背景

給定 n 個物品，每個物品有其體積 a、價值 b 和數量 s，以及一個容量為 m 的背包。目標是選擇物品使得總價值最大，同時總容量不超過背包的容量。與完全背包問題不同的是，多重背包問題中每個物品的數量是有限的。

2. 二進制拆分的概念

二進制拆分是一種優化技巧，用于處理多重背包問題中的物品數量。通過將每個物品的數量 s 拆分成若干個部分，每個部分的數量為 2^k（k 從 0 開始），可以顯著減少狀態轉移的次數。例如，如果 s = 13，可以拆分成 1 + 2 + 4 + 6，其中 1 + 2 + 4 = 7，剩余的 6 作為最后一部分。

3. 代碼邏輯解析

(1) 輸入數據

cin >> n >> m;
int cnt = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{int a, b, s;cin >> a >> b >> s;int k = 1;while (k <= s){cnt++;v[cnt] = a * k;w[cnt] = b * k;s -= k;k *= 2;}if (s > 0){cnt++;v[cnt] = a * s;w[cnt] = b * s;}
}
n = cnt;

• 用戶輸入物品數量 n 和背包容量 m。

• 對于每個物品，輸入其體積 a、價值 b 和數量 s。

• 使用二進制拆分將每個物品的數量 s 拆分成若干個部分，每個部分的數量為 2^k。

• 將每個部分作為一個新的物品，存儲到數組 v 和 w 中。

• 更新物品總數 n 為拆分后的物品數量 cnt。

(2) 動態規劃狀態轉移

for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = m; j >= v[i]; j--)f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

1. 外層循環：

   • 遍歷每個物品，從第 1 個到第 n 個。

2. 內層循環：

   • 遍歷背包的每個容量，從 m 到 v[i]（逆序遍歷）。

   • 逆序遍歷的原因是避免重復使用同一個物品。如果正序遍歷，同一個物品可能會被多次使用，從而變成完全背包問題。

3. 狀態轉移：

   • f[j] 表示在容量為 j 的背包下的最大價值。

   • 不選擇第 i 個物品：f[j] 保持不變。

   • 選擇第 i 個物品：如果當前容量 j 大于等于第 i 個物品的體積 v[i]，則可以考慮選擇第 i 個物品，更新 f[j] 為 f[j - v[i]] + w[i]，即在容量為 j - v[i] 的背包下的最大價值加上第 i 個物品的價值。

(3) 輸出結果

cout << f[m] << endl;

• 輸出最終的最大價值，即 f[m]。

4. 代碼效率分析

• 時間復雜度：

  • 二進制拆分將每個物品的數量 s 拆分成若干個部分，每個部分的數量為 2^k，因此每個物品最多被拆分成 O(log s) 個部分。

  • 動態規劃的狀態轉移時間復雜度為 O(n × m)，其中 n 是拆分后的物品數量。

  • 總時間復雜度為 O(n × m × log s)。

• 空間復雜度：

  • 使用了一個一維數組 f，空間復雜度為 O(m)。

5. 示例運行

輸入：

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

輸出：

10

6. 總結

這段代碼的核心思路是通過動態規劃解決多重背包問題，并使用二進制拆分優化物品的數量處理。通過維護一個一維數組 f，記錄不同狀態下的最大價值，并通過狀態轉移方程更新最大價值，最終找到在給定背包容量下的最大價值。這種方法的時間復雜度為 O(n × m × log s)，空間復雜度為 O(m)，適用于中等規模的多重背包問題。

完整代碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;// 定義常量 N 和 M，N 用于數組大小，M 這里未使用
const int N = 25000, M = 2010;
// n 表示物品的種類數，m 表示背包的容量
int n, m;
// v 數組存儲物品的體積，w 數組存儲物品的價值
int v[N], w[N];
// f 數組是一維數組，f[j] 表示背包容量為 j 時能獲得的最大價值
int f[N];int main()
{// 輸入物品的種類數 n 和背包的容量 mcin >> n >> m;// cnt 用于記錄經過二進制優化后物品的數量int cnt = 0;// 循環處理每種物品for(int i = 1; i <= n; i ++){// 輸入當前物品的體積 a、價值 b 和數量上限 sint a, b, s;cin >> a >> b >> s;// k 用于二進制拆分，初始為 1int k = 1;// 進行二進制拆分while(k <= s){// 物品數量加 1cnt ++;// 計算拆分后物品的體積v[cnt] = a * k;// 計算拆分后物品的價值w[cnt] = b * k;// 減去已拆分的數量s -= k;// k 乘以 2，繼續下一次拆分k *= 2;}// 如果還有剩余數量，將剩余部分作為一個新物品if(s > 0){cnt ++;v[cnt] = a * s;w[cnt] = b * s;}}// 更新物品的種類數為拆分后的數量n = cnt;// 使用 0 - 1 背包的方法進行動態規劃for(int i = 1; i <= n; i ++)// 內層循環從背包的最大容量 m 開始，遞減到當前物品的體積 v[i]for(int j = m; j >= v[i]; j --)// 比較不選擇第 i 個物品和選擇第 i 個物品兩種情況下的最大價值f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);// 輸出背包容量為 m 時能獲得的最大價值cout << f[m] << endl;return 0;
}