在上一篇博客「自動駕駛背后的數學：從傳感器數據到控制指令的函數嵌套」—— 揭秘人工智能中的線性函數、ReLU 與復合函數中，我們初步探討了自動駕駛技術中從傳感器數據到控制指令的函數嵌套流程，其中提到了特征提取模塊對傳感器數據進行線性變換后應用 ReLU 函數的操作。今天，我們深入挖掘這一過程背后的數學原理，包括權重矩陣、偏置向量以及線性變換的相關知識，幫助大家更全面地理解自動駕駛系統中的特征提取機制。

一、傳感器數據與特征提取的背景

自動駕駛車輛依靠多種傳感器（如攝像頭、雷達、激光雷達等）獲取環境信息，這些傳感器數據包含了豐富的原始信息，但直接使用這些原始數據進行決策往往效率不高。因此，需要通過特征提取模塊對這些數據進行處理，提取出對決策更有用的特征。

二、線性變換的數學基礎

（一）權重矩陣 (W)

權重矩陣是神經網絡中用于連接輸入層和隱藏層的參數矩陣。假設我們有 n 個輸入特征，要映射到 m 個輸出特征，那么權重矩陣 W 的維度就是 m×n。矩陣中的每個元素 w_ij 表示第 i 個輸出特征對第 j 個輸入特征的權重，反映了輸入特征對輸出特征的貢獻程度。權重矩陣的元素值是通過訓練過程學習得到的。對于輸入的傳感器數據向量，權重矩陣中的每個元素表示該傳感器數據在某個特定特征維度上的權重，較大的權重值意味著該傳感器數據在這個特征維度上具有更大的影響力。

例如，在雷達數據處理中，假設我們有 3 個雷達輸入數據（如前方障礙物距離、后方障礙物距離、側方障礙物距離），要映射到 2 個中間特征，那么權重矩陣 W 可能如下：

（二）偏置向量 (b)

偏置向量是另一個重要的參數，它為每個神經元（或特征）提供了一個基礎值。無論輸入數據如何，偏置向量都會被加到線性變換的結果上。這相當于在神經網絡中引入了一個額外的可調節參數，使得模型能夠更好地擬合數據。偏置向量的值同樣是在訓練過程中確定的，它有助于提高模型的靈活性和適應性。

例如，對于上述的 2 個中間特征，偏置向量 b 可能為：

（三）線性變換過程

線性變換是通過權重矩陣和偏置向量對輸入數據進行的一種線性組合操作。數學上，對于輸入向量 x，線性變換的結果可以表示為 y = Wx + b。其中，W 是權重矩陣，b 是偏置向量。這個過程將輸入數據映射到一個新的空間，在這個新空間中，數據可能具有更好的可分性和代表性，有利于后續的特征提取和決策。

以障礙物檢測任務為例，權重矩陣可能呈現如下結構：

$$W=\left[\begin{array}{ccc}0.2& 0.5& 0.3\\ 0.6& 0.1& 0.3\\ 0.4& 0.4& 0.2\end{array}\right]$$

其中，第一行對應“碰撞風險指數”，更側重于距離（0.2）和速度（0.5）的權重；第二行對應“緊急制動需求”，距離（0.6）和角度（0.3）的權重較高。

偏置向量（b）用于補償線性組合的基準值，數學表達式為 m×1 維的向量。每個元素 b_i 表示第 i 個特征的基準偏移量。例如：

$$b=\left[\begin{array}{c}?1.0\\ 0.5\\ 0.0\end{array}\right]$$

第一個特征設置負偏置，優先激活高風險特征；第二個特征設置正偏置，強化制動需求。

線性變換的完整數學公式為：

$$\text{linear\_output}=W?{\text{sensor\_data}}^T+b$$

以輸入傳感器數據 [d, v, θ] = [20m, 15m/s, 0.2rad] 為例，計算過程如下：

$$\begin{array}{rl}{\text{linear\_output}}_1& =0.2\times 20+0.5\times 15+0.3\times 0.2?1.0=3.66\\ {\text{linear\_output}}_2& =0.6\times 20+0.1\times 15+0.3\times 0.2+0.5=13.56\\ {\text{linear\_output}}_3& =0.4\times 20+0.4\times 15+0.2\times 0.2+0.0=14.04\end{array}$$

三、特征提取中的線性變換與 ReLU 激活

在自動駕駛的特征提取模塊中，我們首先對雷達數據進行線性變換，然后應用 ReLU 函數。具體來說，假設雷達數據為一個向量，我們通過權重矩陣和偏置向量對其進行線性變換，得到一個新的向量。這個新向量中的每個元素都是原始雷達數據的線性組合，反映了不同雷達數據在不同特征維度上的綜合影響。

接下來，應用 ReLU 函數對線性變換后的結果進行非線性處理。ReLU 函數的公式為： f(x) = max(0, x)，它將輸入中的負值置為零，保留正值。這種非線性特性使得神經網絡能夠學習復雜的模式和特征。在自動駕駛中，經過 ReLU 激活后的特征向量能夠更好地表示環境信息，例如不同方向障礙物的距離經過處理后，可以更清晰地反映出車輛所處的環境狀態，為后續的路徑規劃和控制指令生成提供更準確的依據。

四、路徑規劃：線性函數的威力

路徑規劃是自動駕駛的核心任務之一，其目標是根據當前環境信息生成目標速度和轉向角度。這里我們使用線性函數來實現路徑規劃。

線性函數的數學定義

在自動駕駛中的應用

五、控制指令生成：復合函數的嵌套

控制指令生成模塊將路徑規劃的結果轉化為具體的控制指令（如剎車力度和轉向角度）。這一過程可以看作是一個復合函數的嵌套。

復合函數的數學定義

在自動駕駛中的應用

通過復合函數的嵌套，我們可以將傳感器數據逐步轉化為控制指令：

1. 傳感器數據 → 特征提取 → 路徑規劃 → 控制指令。
2. 每一步都是一個函數的輸出作為下一步的輸入。

六、示例與代碼解析

為了更直觀地理解這一過程，我們可以通過一個完整的示例來說明，包括傳感器數據、特征提取、路徑規劃和控制指令生成。

import numpy as np# 1. 傳感器數據輸入
def get_sensor_data():return np.array([50.0, 10.0, 0.1])  # [障礙物距離, 車速, 車道偏離角度]# 2. ReLU 激活函數
def relu(x):return np.maximum(0, x)# 3. 線性函數
def linear_function(x, weights, bias):return np.dot(x, weights) + bias# 4. 特征提取模塊
def feature_extraction(sensor_data):weights = np.array([[0.1, 0.2, 0.3],[0.4, 0.5, 0.6],[0.7, 0.8, 0.9]])bias = np.array([0.1, 0.2, 0.3])return relu(linear_function(sensor_data, weights, bias))# 5. 路徑規劃模塊
def path_planning(features):weights_speed = np.array([0.5, 0.6, 0.7])bias_speed = 0.1target_speed = linear_function(features, weights_speed, bias_speed)weights_steering = np.array([0.3, 0.4, 0.5])bias_steering = 0.05target_steering = linear_function(features, weights_steering, bias_steering)return np.array([target_speed, target_steering])# 6. 控制指令生成模塊
def control_instruction(planning_result):target_speed, target_steering = planning_resultcurrent_speed = 10.0  # 假設當前車速為 10 m/sbrake_force = max(0, current_speed - target_speed) * 10  # 剎車力度計算steering_angle = target_steering  # 轉向角度return np.array([brake_force, steering_angle])# 7. 主函數：自動駕駛決策流程
def autonomous_driving():sensor_data = get_sensor_data()features = feature_extraction(sensor_data)planning_result = path_planning(features)control_vars = control_instruction(planning_result)return control_vars# 運行自動駕駛決策流程
if __name__ == "__main__":print("控制指令:", autonomous_driving())

在這個示例中，我們首先對傳感器數據進行線性變換，計算得到線性變換結果。然后，應用 ReLU 函數對線性變換結果進行非線性處理，得到最終的特征向量。接著，使用線性函數進行路徑規劃，得到目標速度和轉向角度。最后，通過復合函數的嵌套，將路徑規劃的結果轉化為具體的控制指令。通過這種方式，我們可以提取出對自動駕駛決策有用的特征，并生成相應的控制指令。

七、總結與展望

通過深入解析自動駕駛特征提取、路徑規劃和控制指令生成中的線性變換與 ReLU 激活過程，我們更清晰地理解了權重矩陣、偏置向量以及線性變換在其中的關鍵作用。這些數學工具和方法不僅在自動駕駛領域發揮著重要作用，也為更廣泛的人工智能系統提供了堅實的數學基礎。在后續的博客中，我們將繼續探索自動駕駛技術背后的數學原理，如路徑規劃中的優化算法、控制指令生成中的動態系統建模等，逐步構建起一個完整的自動駕駛技術數學框架，為讀者呈現更豐富、深入的技術內容。